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条件边正多边形凸多面体

条件边正多边形凸多面体（Convex regular-faced polyhedra with conditional edges）是一种拟詹森多面体，也是共面拟詹森多面体的一种。其代表的是所有面都是正多边形之非严格凸多面体的子集，其加入了一个条件——条件边，即不能有边两两共线的情况。加上这样限制之后的“所有面都是正多边形之非严格凸多面体”一共有78个。詹森多面体所代表的是所有面都是正多边形之严格凸多面体，这些多面体共有92个，因此考虑了“条件边”后的“所有面都是正多边形之凸多面体（不限制严格凸）”这样的立体共有170个。

条件边正多边形凸多面体
部分的条件边正多边形凸多面体
侧锥双新月双罩帐
侧锥双新月双罩帐 		二侧锥八面体
二侧锥八面体
正三角锥反角柱
正三角锥反角柱 		柱化异相双三角柱
柱化异相双三角柱

定义

若将詹森多面体的条件放宽成允许面两两共面，且所有顶点都要严格位于顶角上，不能有边两两共线的情况（若允许边两两共线，则结果会有无穷多种情况），也不能够有顶点位于共面区域内部的情况，则能够再列出有限个有此特性的立体。条件边（conditional edges）指的是对应棱的二面角为平角的边。[1]在这条件下，能允许互相共面的面有正三角形与正三角形（3+3）、正三角形与正方形（3+4）、正三角形与正五边形（3+5）、正方形和两个位于对侧的正三角形（3+4+3）、正五边形和两个不相邻的正三角形（3+5+3），也就是说，这些立体除了有正多边形面外，也会存在上述组合之形状的面。[2]这类立体一共有78个。[1]和詹森多面体一样，这些立体除了一些基本立体外，都能够用柱体、锥体和28种立体互相组合而成。[2]

历史

拥有条件边的基本立体由B·A·伊万诺夫（B. A.Ivanov）[3]和普里亚欣·尤·A（Prjahin Ju. A.）[4]分别于1971年和1973年发现，这些无法用其他立体组合而成的基本立体共有6个，阿列克谢·维克多罗维奇·蒂莫芬科（Aleksei Victorovich Timofeenko）将其中5五首先被伊万诺夫发现的立体称为伊万诺夫立体（Ivanov solid），另一个则被称为普里亚欣立体（Pryakhin solid）[5]。亚历克斯·多斯基（Alex Doskey）[6]、罗杰·考夫曼（Roger Kaufman）和史蒂夫·沃特曼（Steve Waterman）[7]在2006年列出了大部分有此性质的立体。2008年，维克多·扎加勒（Victor Zalgaller）[8]和蒂莫芬科[5]独立发现并列出这些立体。2010年，蒂莫芬科证明这些立体只有78种。[5][9]

列表

下表列出了所有78个条件边正多边形凸多面体。其中，Pn,k代表n个基本立体之组合的第k个立体[5]，由最多个基本立体组合成的条件边正多边形凸多面体是三侧锥同相双五角罩帐锥，由6个基本立体组合而成，分别为4个五角锥和2个五角罩帐。

Pn,k[5] Sn[8] 名称 组合 3D模型 顶点 边 面 F3 F4 F5 F6 F8 F10 F3+3 Fetc
Q1 Q1 斜六角柱 （基本立体）   12 18 8 2 2 4
Q2 Q2 六斜方十二面体 （hexarhombic dodecahedron） （基本立体）   18 28 12 4 4 4
Q3 Q3 （未命名） （基本立体）   15 29 16 9 2 3 2
Q4 Q4 （未命名） （基本立体）   15 27 14 5 2 3 4
Q5 Q5 （未命名） （基本立体）   22 42 22 10 4 2 2 4
Q6 Q6 （未命名） （基本立体）   18 33 17 7 3 3 1 3
P2,2 S3 同相双三角柱 三角柱   8 12 6 4 2
P2,3 S4 侧三角柱立方体 三角柱+立方体   10 15 7 5 2
P2,4 S5 侧三角柱五角柱 三角柱+五角柱   12 18 8 6 2
P2,22 S14 侧锥四角锥 正四面体+四角锥   6 9 5 2 1 2
P2,25 S17 侧锥三角台塔 三角台塔+四角锥   10 16 8 2 2 1 3
P2,29 S22 侧锥双新月双罩帐 双新月双罩帐+五角锥   15 29 16 9 2 3 2
P2,30 S46 侧锥五角丸塔 五角丸塔+五角锥   21 36 17 7 5 1 4
P2,31 S24 五角丸塔锥 五角丸塔+五角锥   21 35 16 5 5 1 5
P2,33 S2 侧锥三角广底球状罩帐 三角广底球状罩帐+五角锥   19 38 21 12 3 2 1 3
P2,34 S1 异侧邻二侧锥双新月双罩帐 双新月双罩帐+五角锥   16 32 18 10 2 2 4
P2,38 S59 单旋侧台塔截角四面体 截角四面体+三角台塔   15 24 11 2 3 3 3
P2,42 S60 单旋侧台塔截角立方体 截角立方体+四角台塔   28 44 18 4 5 5 4
P2,48 S63 单旋侧台塔截角十二面体 截角十二面体+五角台塔   65 100 37 15 5 1 11 5
P3,1 S6 侧锥同相双三角柱 三角柱+四角锥   9 16 9 4 3 2
P3,2 S10 柱化异相双三角柱 三角柱+立方体   12 18 8 4 4
P3,3 S11 柱化同相双三角柱 三角柱+立方体   12 18 8 6 2
P3,4 S9 对侧锥侧三角柱立方体 三角柱+立方体+四角锥   11 19 10 4 4 2
P3,5 S12 间二侧三角柱五角柱 三角柱+五角柱   14 21 9 7 2
P3,6 S13 间侧锥侧三角柱五角柱 三角柱+五角柱+四角锥   13 22 11 4 5 2
P3,22 S40 五角丸塔锥柱 五角丸塔+十角柱+五角锥   31 55 26 5 10 5 1 5
P3,31 S41 五角丸塔锥反棱柱 五角丸塔+五角反棱柱+五角锥   31 65 36 25 5 1 5
P3,33 S15 侧锥八面体 正八面体+正四面体   7 12 7 4 3
P3,34 S18 侧锥同相双三角台塔 三角台塔+四角锥   13 25 14 6 5 3
P3,35 S20 侧锥截半立方体 截半立方体+四角锥   13 24 13 4 5 4
P3,36 S23 对二侧锥双新月双罩帐 双新月双罩帐+五角锥   16 32 18 10 2 2 4
P3,37 S47 间二侧锥五角丸塔 五角丸塔+五角锥   22 37 17 4 4 1 8
P3,38 S48 罩帐侧锥异相五角帐塔罩帐 五角丸塔+五角台塔+五角锥   26 51 27 12 5 6 4
P3,39 S49 罩帐侧锥同相五角帐塔罩帐 五角丸塔+五角台塔+五角锥   26 51 27 12 5 6 4
P3,40 S27 侧锥截半二十面体 截半二十面体+五角锥   31 60 31 15 11 5
P3,41 S52 侧锥同相双五角丸塔 同相双五角罩帐（英语：Pentagonal orthobirotunda）+五角锥   31 61 32 17 11 4
P3,42 S25 异相五角帐塔罩帐锥 五角帐塔+五角罩帐+五角锥   26 50 26 10 5 6 5
P3,43 S26 同相五角帐塔罩帐锥 五角帐塔+五角罩帐+五角锥   26 50 26 10 5 6 5
P3,44 S28 同相双五角罩帐锥 五角罩帐+五角锥   31 60 31 15 11 5
P3,48 S61 单旋二侧台塔截角立方体 截角立方体+四角台塔   32 56 26 8 10 4 4
P3,49 S62 双旋二侧台塔截角立方体 截角立方体+四角台塔   32 52 22 10 4 8
P3,51 S66 单旋间二侧台塔截角十二面体 截角十二面体+五角台塔   70 115 47 20 10 2 10 5
P3,53 S64 单旋对二侧台塔截角十二面体 截角十二面体+五角台塔   70 115 47 20 10 2 10 5
P3,54 S67 双旋间二侧台塔截角十二面体 截角十二面体+五角台塔   70 110 42 10 10 2 10 10
P3,55 S65 双旋对二侧台塔截角十二面体 截角十二面体+五角台塔   70 110 42 10 10 2 10 10
P4,1 S7 邻二侧锥同相双三角柱 三角柱+四角锥   10 20 12 8 2 2
P4,2 S8 对二侧锥同相双三角柱 三角柱+四角锥   10 20 12 8 2 2
P4,5 S31 同相五角台塔丸塔柱锥 五角台塔+五角丸塔+十角柱+五角锥   36 70 36 10 15 6 5
P4,6 S32 异相五角台塔丸塔柱锥 五角台塔+五角丸塔+十角柱+五角锥   36 70 36 10 15 6 5
P4,7 S33 同相双五角丸塔柱锥 五角丸塔+十角柱+五角锥   41 80 41 15 10 11 5
P4,8 S34 异相双五角丸塔柱锥 五角丸塔+十角柱+五角锥   41 80 41 15 10 11 5
P4,9 S37 五角台塔丸塔反棱柱锥 五角台塔+五角丸塔+十角反棱柱+五角锥   36 80 46 30 5 6 5
P4,10 S38 双五角丸塔反棱柱锥 五角丸塔+十角反棱柱+五角锥   41 90 51 35 11 5
P4,11 S16 二侧锥八面体 正四面体+正八面体   8 12 6 6
P4,12 S19 间二侧锥同相双三角台塔 三角台塔+四角锥   14 26 14 4 4 6
P4,13 S21 对二侧锥截半立方体 截半立方体+四角锥   14 24 12 4 8
P4,14 S50 间二侧锥异相五角帐塔罩帐 五角帐塔+五角罩帐+五角锥   27 52 27 9 5 5 8
P4,15 S51 间二侧锥同相五角帐塔罩帐 五角帐塔+五角罩帐+五角锥   27 52 27 9 5 5 8
P4,16 S44 间二侧锥截半二十面体 截半二十面体+五角锥   32 60 30 10 10 10
P4,17 S53 同侧间二侧锥同相双五角罩帐 五角罩帐+五角锥   32 62 32 14 10 8
P4,18 S29 对二侧锥截半二十面体 截半二十面体+五角锥   32 60 30 10 10 10
P4,19 S57 异侧邻二侧锥同相双五角罩帐 五角罩帐+五角锥   32 62 32 14 10 8
P4,20 S58 异侧对二侧锥同相双五角罩帐 五角罩帐+五角锥   32 62 32 14 10 8
P4,21 S42 异侧侧锥同相双五角罩帐锥 五角罩帐+五角锥   32 61 31 12 10 9
P4,22 S30 同相双五角罩帐双锥 五角罩帐+五角锥   32 60 30 10 10 10
P4,25 S68 单旋三侧帐塔截角十二面体 截角十二面体+五角帐塔   75 130 57 25 15 3 9 5
P4,26 S69 双旋三侧帐塔截角十二面体 截角十二面体+五角帐塔   75 125 52 15 15 3 9 10
P4,27 S70 三旋三侧帐塔截角十二面体 截角十二面体+五角帐塔   75 120 47 5 15 3 9 15
P4,30 斜四角柱 正四面体+四角锥   8 12 6 2 4
P4,31 双重侧锥四角锥 （doubled augmented square pyramid）

双斜三角柱 （doubled oblique triangular prism）
扭斜四角柱 （twist slant square prism）

正四面体+四角锥   8 14 8 4 2 2
P5,1 S35 同相双五角罩帐柱双锥 五角罩帐+十角柱+五角锥   42 80 40 10 10 10 10
P5,2 S36 异相双五角罩帐柱双锥 五角罩帐+十角柱+五角锥   42 80 40 10 10 10 10
P5,3 S39 双五角罩帐反棱柱双锥 五角罩帐+十角反棱柱+五角锥   42 90 50 30 10 10
P5,4 S45 三侧锥截半二十面体 截半二十面体+五角锥   33 60 29 5 9 15
P5,5 S55 异侧连三侧锥同相双五角罩帐 五角罩帐+五角锥   33 63 32 11 9 12
P5,6 S56 异侧偏三侧锥同相双五角罩帐 五角罩帐+五角锥   33 63 32 11 9 12
P5,7 S43 异侧间二侧锥同相双五角罩帐锥 五角罩帐+五角锥   33 62 31 9 9 13
P6,1 S54 三侧锥同相双五角罩帐锥 五角罩帐+五角锥   34 64 32 8 8 16

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Robert R Tupelo-Schneck. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges. [2023-01-31]. （原始内容存档于2021-08-18）. 
  2. ^ 2.0 2.1 Robert R Tupelo-Schneck. Regular-faced Polyhedra. [2023-02-01]. （原始内容存档于2022-11-14）. 
  3. ^ Ivanov, B. A. Polyhedra with boundary surfaces compounded from regular polygons. Ukrainskiĭ Geometricheskiĭ Sbornik. 1971, 10: 20–34. ISSN 0135-6992 （俄语）. 
  4. ^ Prjahin, Ju. A. Convex polyhedra with regular faces. Ukrainskiĭ Geometricheskiĭ Sbornik. 1973, (No. 14): 83–88 （俄语）. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 Timofeenko, Aleksei Victorovich. Junction of noncomposite polygons. Algebra i Analiz (St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics, Russian~…). 2009, 21 (3): 165–209. 
  6. ^ Alex Doskey. Convex Diamond-Regular Polyhedra. [2023-01-31]. （原始内容存档于2023-01-31）. 
  7. ^ Steve Waterman. Convex hulls having regular diamonds. [2023-01-31]. （原始内容存档于2023-01-31）. 
  8. ^ 8.0 8.1 Gurin, AM and Zalgaller, VA. On the history of the study of convex polyhedra with regular faces and faces composed of regular ones. Translations of the American Mathematical Society-Series 2. 2009, 228: 169. 
  9. ^ Timofeenko, Aleksei Victorovich. Corrections to “Junction of noncomposite polyhedra”. St. Petersburg Mathematical Journal. 2012-08-01, 23 (4): 779–780 [2023-01-31]. ISSN 1061-0022. doi:10.1090/S1061-0022-2012-01217-3 （英语）. 
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