椭球坐标系

椭球坐标系（英语：Ellipsoidal coordinates）是一种三维正交坐标系，是椭圆坐标系的推广。与大多数的三维正交坐标系的生成方法不同，椭球坐标系不是由任何二维正交坐标系延伸或旋转生成的。

基本公式

椭球坐标 $(\lambda ,\ \mu ,\ \nu )$ 以直角坐标 $(x,\ y,\ z)$ 定义为：

x^{2}={\frac {(a^{2}+\lambda )(a^{2}+\mu )(a^{2}+\nu )}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}}

、

y^{2}={\frac {(b^{2}+\lambda )(b^{2}+\mu )(b^{2}+\nu )}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}}

、

z^{2}={\frac {(c^{2}+\lambda )(c^{2}+\mu )(c^{2}+\nu )}{(c^{2}-b^{2})(c^{2}-a^{2})}}

；

其中，椭球坐标遵守以下限制：

-\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}

。

椭球上的与双曲面相交的曲线，a=1, b=0.8, c=0.6.

$\lambda$ -坐标曲面是椭球面：

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1

。

$\mu$ -坐标曲面是单叶双曲面 (hyperboloid of one sheet) ：

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1

。

$\nu$ -坐标曲面是双叶双曲面 (hyperboloid of two sheet) ：

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1

。

为了简化标度因子的计算，设定函数

S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (a^{2}+\sigma )(b^{2}+\sigma )(c^{2}+\sigma )

；

其中，参数 $\sigma$ 可以代表任何一个椭球坐标 $(\lambda ,\ \mu ,\ \nu )$ 。

椭球坐标的标度因子分别为

h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}{S(\lambda )}}}

、

h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}{S(\mu )}}}

、

h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}{S(\nu )}}}

。

无穷小体积元素等于

dV={\frac {(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\ d\lambda d\mu d\nu

。

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\ +\ {\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]

+\ {\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]

。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ 与 $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用椭球坐标表达，只需要将标度因子代入正交坐标条目内对应的一般公式。

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