欧拉公式

e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

欧拉公式(英语:Euler's formula,又称尤拉公式)是复分析领域的公式,它将三角函数复指数函数关联起来,因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出,对任意实数 ,都存在

其中 自然对数的底数虚数单位,而 则是余弦正弦对应的三角函数,参数 则以弧度为单位[1]。这一复数指数函数有时还写作 cis x (英语:cosine plus i sine,余弦加i 乘以正弦)。由于该公式在 复数时仍然成立,所以也有人将这一更通用的版本称为欧拉公式[2]

欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为:“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”[3]

时,欧拉公式变为,即欧拉恒等式

在复分析的应用

这公式可以说明当  实数时,函数   可在复数平面描述一单位圆。且   为此平面上一条连至原点的线与正实轴的交角。先前一个在复平面的复点只能用笛卡尔坐标系描述,欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换

任何复数   皆可记为

 
 

在此

 为实部
 为虚部
  
 ,其中  

历史

约翰·伯努利注意到有[4]

 

并且由于

 

上述公式通过把自然对数和复数(虚数)联系起来,告诉我们关于复对数的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程,伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时,罗杰·柯特斯英语Roger Cotes于 1714 年发现[5]

 

由于三角函数的周期性,一个复数可以加上 2iπ 的不同倍数,而它的复对数可以保持不变。

1740年左右,欧拉把注意力从对数转向指数函数,得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到(其实此证法存在问题,原因见验证方法,但结论正确。),于1748年发表[6][5]

大约50年之后,卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数视做复平面中的点。

形式

 

对于任意实数 ,以下等式恒成立:

 

由此也可以推导出

  

 时,欧拉公式的特殊形式为

 

证明

首先,在复数域上对 进行定义:

对于 ,规定 

复数的极坐标表示 ,有:

 

且根据棣莫弗公式 

从而有:

 

假设 ,则:

 

(由于包含n在幂,所以要ln)从而有:

 

这一步骤用到  墨卡托级数


即:

 

又有(arctan x 约等于x 于0附近):

 

从而可以证明:

 

即:

 

 ,可得欧拉公式。

证毕。[7]

验证方法

方法一:泰勒级数
把函数   写成泰勒级数形式:
 
 
 
 代入 可得:
 
方法二:求导法
对于所有 ,定义函数 
由于 
可知 不可能为0,因此以上定义成立。
 之导数为:
 
  
 拉格朗日中值定理
 
 
 
因此 必是常数函数
 
 
重新整理,即可得到:
 
方法三:微积分
找出一个原函数 ,使得  
假设  ,有:
 
假设  ,有:
 
使用积分法,可得 的原函数是以上两个函数分别与任意实数的和,分别记为:
 
 
其中, 和: 是任意实数。
 时, ,观察到:
 
 
所以 ,可以得出:
 

cis函数

在复分析领域,欧拉公式亦可以以函数的形式表示

 
 

并且一般定义域 ,值域为 (复平面上的所有单位向量)。

当一复数的模为1,其反函数就是辐角arg函数)。

 值为复数时,cis函数仍然是有效的,所以有些人可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。[2]

检验和角公式

由于  ,则有

 

实部等于实部,虚部等于虚部,因此

 
 

参见

参考资料

  1. ^ Eulers Formula. 密苏里科技大学. [2021-06-13]. (原始内容存档于2020-02-21). 
  2. ^ 2.0 2.1 Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X. 
  3. ^ Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. 1977: 22-10. ISBN 0-201-02010-6. 
  4. ^ Bernoulli, Johann. Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702, 1702: 197–289. 
  5. ^ 5.0 5.1 John Stillwell. Mathematics and Its History. Springer. 2002 [2018-07-17]. (原始内容存档于2019-06-04). 
  6. ^ Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle页面存档备份,存于互联网档案馆) of Introduction to the Analysis of the Infinite, page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).
  7. ^ 张筑生. 数学分析新讲(第一册)第七章 4.实变复值函数. 北京大学出版社. 1990.