爱因斯坦求和约定

数学里,特别是将线性代数套用到物理时,爱因斯坦求和约定Einstein summation convention)是一种标记的约定,又称为爱因斯坦标记法Einstein notation),在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的[1]。后来,爱因斯坦与友人半开玩笑地说[2]:“这是数学史上的一大发现,若不信的话,可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”

按照爱因斯坦求和约定,当一个单独项目内有标号变量出现两次,一次是上标,一次是下标时,则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言,标号的标值为1、2、3(代表维度为三的欧几里得空间),或0、1、2、3(代表维度为四的时空闵可夫斯基时空)。但是,标值可以有任意值域,甚至(在某些应用案例里)无限集合。这样,在三维空间里,

的意思是

请特别注意,上标并不是指数,而是标记不同坐标。例如,在直角坐标系里,分别表示坐标、坐标、坐标,而不是的平方、的立方。

简介

爱因斯坦标记法的基本点子是余向量向量可以形成标量

 

通常会将这写为求和公式形式:

 

基底变换之下,标量保持不变。当基底改变时,一个向量的线性变换可以用矩阵来描述,而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证,不论基底为何,伴随余向量的线性函数(即上述总和)保持不变。由于只有总和不变,而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变,所以,爱因斯坦提出了这标记法,重复标号表示总和,不需要用到求和符号

 

采用爱因斯坦标记法,余向量都是以下标来标记,而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起,大多数涉及的方程式都是线性,不超过变量的一次方。在方程式里,单独项目内的标号变量最多只会出现两次,假若多于两次,或出现任何其它例外,则都必须特别加以说明,才不会造成含意混淆不清。

向量的表示

线性代数里,采用爱因斯坦标记法,可以很容易的分辨向量和余向量(又称为1-形式)。向量的分量是用上标来标明,例如, 。给予一个 维向量空间 和其任意基底 (可能不是标准正交基),那么,向量 表示为

 

余向量的分量是用下标来标明,例如, 。给予 对偶空间 和其任意基底 (可能不是标准正交基),那么,余向量 表示为

 

采用向量的共变和反变术语,上标表示反变向量(向量)。对于基底的改变,从 改变为 ,反变向量会变换为

 

其中, 是改变基底后的向量的分量, 是改变基底后的坐标, 是原先的坐标,

下标表示共变向量(余向量)。对于基底的改变,从 改变为 ,共变向量会会变换为

 

一般运算

矩阵 的第 横排,第  竖排的元素,以前标记为 ;现在改标记为 。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下:

内积

给予向量 和余向量 ,其向量和余向量的内积为标量:

 

向量乘以矩阵

给予矩阵 和向量 ,它们的乘积是向量 

 

类似地,矩阵 转置矩阵 ,其与余向量 的乘积是余向量 

 

矩阵乘法

矩阵乘法表示为

 

这公式等价于较冗长的普通标记法:

 

给予一个方块矩阵 ,总和所有上标与下标相同的元素 ,可以得到这矩阵的 

 

外积

M维向量 和N维余向量 外积是一个M×N矩阵 

 

采用爱因斯坦标记式,上述方程式可以表示为

 

由于  代表两个不同的标号,在这案例,值域分别为M和N,外积不会除去这两个标号,而使这两个标号变成了新矩阵 的标号。

向量的内积

一般力学工程学会用互相标准正交基基底向量   来描述三维空间的向量。

 

直角坐标系的基底向量   写成   ,所以一个向量可以写成:

 

根据爱因斯坦求和约定,若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标,则此项代表着所有可能值之总和:

 

由于基底是标准正交基, 的每一个分量 ,所以,

 

两个向量  内积

 

由于基底是标准正交基,基底向量相互正交归一:

 

其中, 就是克罗内克函数。当 时,则 ,否则 

逻辑上,在方程式内的任意项目,若遇到了克罗内克函数 ,就可以把方程式中的标号 转为 或者把标号 转为 。所以,

 

向量的叉积

采用同样的标准正交基   ,两个向量  叉积,以方程式表示为

 
 

注意到

 

其中,张量 列维-奇维塔符号,定义为

  ,若      (偶置换
,若     (奇置换)
,若    

所以,

 

设定 ,那么,

 

所以,

 

向量的共变分量和反变分量

欧几里得空间 里,共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量;对于所有向量 ,通过下述方程式,向量 唯一地确定了余向量 

 

逆过来,通过上述方程式,每一个余向量 唯一地确定了向量 。由于这向量与余向量的相互辨认,我们可以提到向量的共变分量和反变分量;也就是说,它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予 的一个基底 ,则必存在一个唯一的对偶基底 ,满足

 

其中,张量 克罗内克函数

以这两种基底,任意向量 可以写为两种形式

 

其中, 是向量 对于基底 的反变分量, 是向量 对于基底 的共变分量,

欧几里得空间

 
将向量  投影于坐标轴 ,可以求得其反变分量 ;将向量 投影于坐标曲面法线 ,可以求得其共变分量 

欧几里得空间 里,使用内积运算,能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基的基底,其基底向量为   ,就可以计算其对偶基底的基底向量:

 

其中, 是基底向量   共同形成的平行六面体的体积。

反过来计算,

 

其中, 是基底向量   共同形成的平行六面体的体积。

虽然  并不相互标准正交,它们相互对偶:

 

虽然  并不相互标准正交,它们相互对偶:

 

这样,任意向量 的反变分量为

 

类似地,共变分量为

 

这样, 可以表示为

 

或者,

 

综合上述关系式,

 

向量 的共变分量为

 

其中, 度规张量

向量 的反变分量为

  ;

其中, 共轭度规张量

共变分量的标号是下标,反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基,或反变基底向量组成的基底是标准正交基,则共变基底与反变基底相互等价。那么,就没有必要分辨共变分量和反变分量,所有的标号都可以用下标来标记。

抽象定义

思考维度为 的向量空间 。给予一个可能不是标准正交基的基底 。那么,在 内的向量 ,对于这基底,其分量为  、... 。以方程式表示,

 

在这方程式右手边,标号 在同一项目出现了两次,一次是上标,一次是下标,因此,从 等于  ,这项目的每一个可能值都必须总和在一起。

爱因斯坦约定的优点是,它可以应用于从 张量积对偶性建立的向量空间。例如,  与自己的张量积,拥有由形式为 的张量组成的基底。任意在 内的张量 可以写为

 

向量空间 对偶空间 拥有基底 ,遵守规则

 

其中, 克罗内克函数

范例

为了更明确地解释爱因斯坦求和约定,在这里给出几个简单的例子。

  • 思考四维时空,标号的值是从0到3。两个张量,经过张量缩并tensor contraction)运算后,变为一个标量:
 
  • 方程式的右手边有两个项目:
 
由于运算结果与标号  无关,可以被其它标号随意更换,所以,  称为傀标号
自由标号是没有被总和的标号。自由标号应该出现于方程式的每一个项目里,而且在每一个项目里只出现一次。在上述方程式里, 是自由标号,每一个项目都必须有同样的自由标号。注意到在项目 里,标号 出现了两次,一次是上标,一次是下标,所以,这项目的所有可能值都必须总和在一起。称 求和标号
  • 思考在黎曼空间的弧线元素长度 
 。请将这两种标号跟自由变量和约束变量相比较。
进一步扩展,
 
 
 
 
注意到  乘以 ,是 ,而不是 坐标的微小元素。当有疑虑时,可以用括号来分歧义。

参阅

参考文献

  1. ^ Einstein, Albert, The Foundation of the General Theory of Relativity, Annalen der Physik, 1916 [2006-09-03], (原始内容 (PDF)存档于2007-07-22) 
  2. ^ Byron, Frederick; Fuller, Robert, Mathematics of classical and quantum physics, Courier Dover Publications: pp. 5, 1992, ISBN 9780486671642 

外部链接