矩阵差分方程 是一种差分方程 ，其中某时刻的变量向量（或矩阵）与之前时刻的值通过矩阵相关。[ 1] [ 2] 阶 是变量向量任意两个指示值之间的最大时差。例如
x
t
=
A
x
t
−
1
+
B
x
t
−
2
{\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}}
是二阶矩阵差分方程，其中x n × 1A B n × n
x
t
+
2
=
A
x
t
+
1
+
B
x
t
{\displaystyle \mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {Ax} _{t+1}+\mathbf {Bx} _{t}}
或
x
n
=
A
x
n
−
1
+
B
x
n
−
2
{\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\mathbf {Ax} _{n-1}+\mathbf {Bx} _{n-2}}
最常见的矩阵差分方程都是一阶的。
非齐次一阶矩阵差分方程如：
x
t
=
A
x
t
−
1
+
b
{\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {b} }
与一个加性常向量 b x x *x *x t x t −1x *x *
x
∗
=
[
I
−
A
]
−
1
b
{\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b} }
其中I n × n 单位矩阵 ，假定[I − A ]
[
x
t
−
x
∗
]
=
A
[
x
t
−
1
−
x
∗
]
{\displaystyle \left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]}
一阶矩阵差分方程[x t x *] = A [x t −1x *] 稳定 的，即当且仅当转移矩阵A x t x *
假定方程齐次形式为y t = Ay t −1初始条件 y 0 y 0 y
y
1
=
A
y
0
y
2
=
A
y
1
=
A
2
y
0
y
3
=
A
y
2
=
A
3
y
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {Ay} _{0}\\\mathbf {y} _{2}&=\mathbf {Ay} _{1}=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {Ay} _{2}=\mathbf {A} ^{3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}}
以此类推，由数学归纳法 ，用t
y
t
=
A
t
y
0
{\displaystyle \mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}}
此外，若A A
y
t
=
P
D
t
P
−
1
y
0
,
{\displaystyle \mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},}
其中P n × n A D n × n 对角矩阵 ，对角元是A A A t
从n y t Ay t −1y 1 yt y 1,t A n y 1 y 1
y
1
,
t
=
a
1
y
1
,
t
−
1
+
a
2
y
1
,
t
−
2
+
⋯
+
a
n
y
1
,
t
−
n
{\displaystyle y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\dots +a_{n}y_{1,t-n}}
其中参数ai A 特征方程式 ：
λ
n
−
a
1
λ
n
−
1
−
a
2
λ
n
−
2
−
⋯
−
a
n
λ
0
=
0.
{\displaystyle \lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}=0.}
因此，n n
可用分块矩阵将高阶矩阵差分方程转换到一阶，可以求解时滞超过一个周期的高阶方程，并分析其稳定性。例如，假设有二阶方程
x
t
=
A
x
t
−
1
+
B
x
t
−
2
{\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}}
变量向量x n × 1A B n × n
[
x
t
x
t
−
1
]
=
[
A
B
I
0
]
[
x
t
−
1
x
t
−
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}}
其中I n × n 单位矩阵 ，0 n × n 零矩阵 。然后将当前变量和一度滞后变量的2n × 1 z t 2n × 2n L
z
t
=
L
t
z
0
{\displaystyle \mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}}
与之前一样，当且仅当矩阵L
在LQG控制 中，会出现一个当前和未来成本矩阵反向演化的非线性矩阵方程，下面用H 黎卡提方程 ，当据线性矩阵差分方程演化的变量向量受外源向量的控制，以优化二次 损失函数 时，就会产生这个方程。黎卡提方程形式如下：
H
t
−
1
=
K
+
A
′
H
t
A
−
A
′
H
t
C
[
C
′
H
t
C
+
R
]
−
1
C
′
H
t
A
{\displaystyle \mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} }
其中H K A n × n C n × k R k × k n k A C K R 此处 。
一般来说，该方程无法根据t H t H t [ 3] R = 0 n = k + 1有理差分方程 分析求解；对任意k n A [ 4]
在大多数情况下，H H H *随机控制#离散时间系统 。
相关的黎卡提方程[ 5]
X
t
+
1
=
−
[
E
+
B
X
t
]
[
C
+
A
X
t
]
−
1
{\displaystyle \mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}}
其中X , A , B , C , E n × n
X
t
=
N
t
D
t
−
1
{\displaystyle \mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}}
t = 0N 0 = X 0 D 0 = I
X
t
+
1
=
−
[
E
+
B
N
t
D
t
−
1
]
D
t
D
t
−
1
[
C
+
A
N
t
D
t
−
1
]
−
1
=
−
[
E
D
t
+
B
N
t
]
[
[
C
+
A
N
t
D
t
−
1
]
D
t
]
−
1
=
−
[
E
D
t
+
B
N
t
]
[
C
D
t
+
A
N
t
]
−
1
=
N
t
+
1
D
t
+
1
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}}
因此通过归纳法，形式
X
t
=
N
t
D
t
−
1
{\displaystyle \mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}}
t N D
[
N
t
+
1
D
t
+
1
]
=
[
−
B
−
E
A
C
]
[
N
t
D
t
]
≡
J
[
N
t
D
t
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}}
因此可归纳
[
N
t
D
t
]
=
J
t
[
N
0
D
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}}
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![{\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e404724ee47f75c0d0868fc5f6b4f7ea2d2900cd)
![{\displaystyle \left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c1370a2651fb30908b000bb5d0691110681d2f)
![{\displaystyle \mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64f06b4994f69562e1d37c1355fe368bcadff50)
![{\displaystyle \mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafb4978c954da6fa028bb46421954fcb135e0bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66124b1c1269543330c06330e11bb3c9cf65f15e)
3rd. McGraw-Hill. 1984: 608–612. ISBN 9780070107809.
