等边图形

几何学中,等边或称边可递是指所有都相等的几何图形,同时其对称性可以在其边上传递。通俗地说,这意味着这个几何结构中只有一种类型的边,同时在这个立体上任选两个边,并透过平移、旋转或镜射等变换将一边变换到另一个边的位置时,其仍占有相同的空间区域。

边可递多边形

边可递多边形是偶数边数的等边多边形。并非所有等边多边形都是边可递多边形。边可递多边形的对偶多边形是等角多边形。[1]

通常边可递2n边形具有Dn (*nn)的二面体群对称性。[2]例如菱形是一种边可递多边形,并具备D2 (*22)的二面体群对称性。[2]所有正多边形都是边可递多边形[3]:48,并具有2倍的最小对称性阶数:正n边形具有Dn (*nn)的二面体群对称性。

边可递2n边形可以用符号{nα}来表示,其中α代表最外侧的内角。第二外侧的内角β可能大于或小于180度。星形多边形也可以是边可递多边形,其可以用符号{(n/q)α}来表示,其中q<n-1且n和q互素gcd(n,q)=1),而q代表转数英语turning number密度英语Density (polygon)[4]

边可递多边形和复合图形的范例
边数 (2n 4 6 8 10 12 14 16
{nα}
凸 β<180
凹 β>180
 
{2α}
  
{3α}
  
{4α}
  
{5α}
  
{6α}
  
{7α}
  
{8α}
2转英语turning number
{(n/2)α}
--  
{(3/2)α}
 
2{2α}
  
{(5/2)α}
  
2{3α}
  
{(7/2)α}
  
2{4α}
3转
{(n/3)α}
-- --  
{(4/3)α}
 
{(5/3)α}
 
3{2α}
  
{(7/3)α}
  
{(8/3)α}
4转
{(n/4)α}
-- -- --  
{(5/4)α}
 
2{(3/2)α}
 
{(7/4)α}
 
4{2α}
5转
{(n/5)α}
-- -- -- --  
{(6/5)α}
 
{(7/5)α}
 
{(8/5)α}
6转
{(n/6)α}
-- -- -- -- --  
{(7/6)α}
 
2{(4/3)α}
7转
{(n/7)α}
-- -- -- -- -- --  
{(8/7)α}

边可递多面体与镶嵌

所有正多面体都具备等面(面可递)、等边(边可递)和等角(点可递)的特性[5]

拟正多面体或拟正镶嵌图,例如截半立方体截半二十面体,其同时具备了等角(点可递)与等边(边可递)的特性,但不具备等面(面可递)的特性。[6][7]其对偶多面体,如菱形十二面体菱形三十面体具备等面等边的特性,而不具备等角的特性。

范例
拟正
多面体
对偶拟正
多面体
拟正
星形多面体
对偶拟正
星形多面体
拟正
镶嵌图
对偶拟正
镶嵌图
 
截半立方体具备等角等边的特性
 
菱形十二面体具备等面等边的特性
 
大截半二十面体为具备等角等边特性的星形多面体
 
大菱形三十面体为具备等面等边特性的星形多面体
 
截半六边形镶嵌为具备等角等边特性的镶嵌图
 
菱形镶嵌为具备等面等边特性的镶嵌图

并非所有由正多边形组成的多面体或镶嵌都是边可递的,就算他所有边都等长,也可能因为边的相邻面不同(棱的组成不同)而导致其不满足边可递的特性。例如截角二十面体足球的形状)就不满足边可递的特性,因为它具有两种类型的边:六边形-六边形公共边和六边形-五边形公共边,并且立体的对称性不允许将六边形-六边形边移动到六边形-五边形边。

边可递多面体所有棱的二面角皆相等。

凸多面体的对偶多面体仍为凸多面体[8];非凸多面体的对偶多面体也仍为非凸多面体[8];边可递多面体的对偶多面体亦仍为边可递多面体。

参见

参考文献

  1. ^ Guy, R.K. and Woodrow, R.E. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History. Spectrum. Mathematical Association of America. 2020. ISBN 9781470457310. 
  2. ^ 2.0 2.1 M Koca and N O Koca. Quasi Regular Polyhedra and Their Duals with Coxeter Symmetries Represented by Quaternions I. Journal of Physics: Conference Series (IOP Publishing). 2011-04, 284: 012039. doi:10.1088/1742-6596/284/1/012039. 
  3. ^ Bisztriczky, T. and McMullen, P. and Schneider, R. and Weiss, A.I. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Nato Science Series C:. Springer Netherlands. 2012 [2022-07-10]. ISBN 9789401109246. (原始内容存档于2022-07-14). 
  4. ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns . W. H. Freeman. 1987. ISBN 978-0-7167-1193-3.  2.5 Tilings using star polygons, pp.82-85.
  5. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 .
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Quasiregular Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  7. ^ George W. Hart. Quasiregular polyhedra. [2022-07-11]. (原始内容存档于2013-05-24). 
  8. ^ 8.0 8.1 duality. maths.ac-noumea.nc. [2020-09-30]. (原始内容存档于2021-05-08).