辛普森积分法

辛普森法则（英语：Simpson's rule）是一种数值积分方法，是牛顿-柯特斯公式的特殊形式，以五次曲线逼近的方式取代矩形或梯形积分公式，以求得定积分的数值近似解。其近似值如下：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$

该方法由英国数学家托马斯·辛普森所创立。

简化公式

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}$

• h是立体（常指拟柱体）的高度
• a是下底面积
• b是中间截面面积（在一半高度上的截面面积）
• c是上底面积

棱柱和圆柱（$a=b=c$）

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h\cdot 6a}{6}}=ha$(棱柱和圆柱的体积=底面积*高)

棱锥和圆锥（a=4b,c=0）

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h(a+{\frac {4a}{4}}+0)}{6}}={\frac {ah}{3}}$

(棱锥和圆锥的面积=等底、等高的圆柱、棱柱体积的1/3)

圆台

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {\pi h(R^{2}+Rr+r^{2})}{3}}$

球体

$V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {2R(0+4\pi R^{2}+0)}{6}}={\frac {4\pi R^{3}}{3}}$

公式还可以用于计算平面形面积例如：平行四边形、梯形、三角形……

平行四边形（正方形、矩形等）

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}=ah$

(平行四边形的面积等于底乘高)

梯形

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h(a+c)}{2}}$

三角形

$S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {ah}{2}}$

参见

• 梯形公式
• 牛顿-寇次公式
• 数值积分