陈-韦伊同态

数学上,陈-韦伊同态(英语:Chern–Weil homomorphism)是陈-韦伊理论的基本构造,将一个光滑流形M的曲率联系到M德拉姆上同调群,也就是从几何到拓扑。这个理论由陈省身安德烈·韦伊于1940年代建立,是发展示性类理论的重要步骤。这个结果推广了陈-高斯-博内定理

实数域复数域。设G为实或复李群,有李代数,又记

上的-值多项式的代数。设为在G伴随作用的不动点的子代数,故对所有

陈-韦伊同态是从到上同调代数的一个-代数同态。这个同态存在,且对M上任何G-丛P有唯一定义。若G紧致,则于此同态下,G-丛BG分类空间的上同调环同构于不变多项式的代数

对于如SL(n,R)的非紧致群,可能有上同调类无不变多项式的表示。

同态的定义

P 中任何联络形式w,设 为相伴的曲率2-形式。若 k次齐次多项式,设  P上的2k-形式,以下式给出

 

其中 是2k个数的对称群 中置换 的符号。(见普法夫值。)

可证

 

闭形式,故

 

 德拉姆上同调类独立于在P上的联络的选取,故只依赖于主丛。

因此设

 

是由上从f得出的上同调类,故有代数同态

 

参考

  • Bott, R., On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups, Advances in Math, 1973, 11: 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 .
  • Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951 .
  • Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.
    The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.
  • Chern, S.-S.; Simons, J, Characteristic forms and geometric invariants, The Annals of Mathematics. Second Series, 1974, 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013 .
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Vol. 2, Wiley-Interscience, 1963new ed. 2004  .
  • Narasimhan, M.; Ramanan, S., Existence of universal connections, Amer. J. Math., 1961, 83: 563–572, JSTOR 2372896, doi:10.2307/2372896 .
  • Morita, Shigeyuki, Geometry of Differential Forms, A.M.S monograph, 2000, 201 .