电磁波方程

电磁学里,电磁波方程(英语:Electromagnetic wave equation)乃是描述电磁波传播于介质真空的二阶微分方程。电磁波的波源是局域化的含时电荷密度电流密度,假若波源为零,则电磁波方程约化为二阶齐次微分方程英语homogeneous differential equation。这方程的形式,以电场磁场来表达为

其中,拉普拉斯算符是电磁波在真空或介质中传播的速度,时间

由于光波就是电磁波,也是光波传播的速度,称为光速。在真空里, [米/秒],是电磁波传播于自由空间的速度。

历史

詹姆斯·麦克斯韦的1864年论文《电磁场的动力学理论》内,麦克斯韦将位移电流与其它已成立的电磁方程合并,因而得到了描述电磁波的波动方程。最令人振奋的是,这方程所描述的波动的波速等于光波的速度。他这样说[1]

这些殊途一致的结果,似乎意味着光波与电磁波都是同样物质的属性,并且,光波是按照着电磁定律传播于电磁场的电磁扰动。
— 詹姆斯·麦克斯韦

理论推导

在真空里,麦克斯韦方程组的四个微分方程为

 (1)
 (2)
 (3)
 (4)

其中, 真空磁导率 真空电容率

分别取公式(2)、(4)的旋度

 
 

应用一则矢量恒等式(这里, 应被理解为对V的每个分量取拉普拉斯算子,即拉普拉斯–德拉姆算子

 

其中, 是任意矢量函数。

将公式(1)、(3)代入,即可得到亥姆霍兹方程形式的波动方程:

 (5)
 (6)

其中,  [米/秒]是电磁波传播于自由空间的速度。

齐次的波动方程的协变形式

电磁四维势 是由电势 矢量势 共同形成的,定义为

 

采用洛伦茨规范

 

前述那些齐次的波动方程(5)、(6),可以按照反变形式写为

 

其中, 达朗贝尔算子,又称为四维拉普拉斯算子

弯曲时空中的齐次的波动方程

齐次的电磁波方程在弯曲时空中需要做两处修正,分别是将偏导数替换为协变导数,以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为

 

那么,弯曲时空中的齐次的波动方程为

 

其中, 里奇曲率张量

非齐次的电磁波方程

追根究底,局域化的含时电荷密度电流密度是电磁波的波源。在有波源的情形下,麦克斯韦方程组可以写成一个非齐次的电磁波方程的形式。正是因为波源的存在,使得偏微分方程变为非齐次。

波动方程的解

在齐次的电磁波方程中,电场和磁场的每一个分量都满足标量波动方程

 (7)

其中, 是任意良态函数,

标量波动方程的一般解的形式为

 

其中, 是任意良态函数, 位置矢量 是时间, 波矢 角频率

函数 描述一个波动,随着时间的演化,朝着 的方向传播于空间。将函数 代入标量波动方程(7),可得到角频率与波数色散关系

 

或者,角频率一定大于零,但波数可以是负值:

 

正弦波

 
正弦函数余弦函数的曲线是不同相位的正弦曲线。

假设,函数 的波形为正弦波

 

其中, 是实值波幅 初相位

根据欧拉公式

 

函数 也可以表达为一个复数的实值部分

 

以上方加有波浪号的符号来标记复值变数。设定复值函数 

 

其中, 是复值波幅

那么,

 

标量波动方程的正弦波解的形式为 的实值部分。任意涉及实函数 线性方程,都可以用复函数 来代替 。最后得到的复值答案,只要取实值部分,就可以得到描述实际物理的答案。但是,当遇到非线性方程,必须先转换为实值函数,才能够确保答案的正确性。

由于指数函数三角函数容易计算,在很多场合,都可以使用这技巧。

线性叠加

任意波动 可以表达为一个无限集合的不同频率的正弦波的线性叠加

 

所以,只要能得知单独频率的波动 单色波)的表达式,就可以求算整个波动 的表达式。

齐次的电磁波方程的解

单色正弦平面波的解

 
电磁波是横波,电场方向与磁场方向相互垂直,又都垂直于传播方向。

从前面的分析,可以猜到齐次的电磁波方程的单色正弦平面波的解为:

 
 

其中,  分别为复值电场 和复值磁场 的复常数振幅矢量。

这两个方程显示出正弦平面波的传播方向是 的方向。由于方程(1)和(3),

 
 

电场和磁场垂直于波矢,波动传播的方向。所以,电磁波是横波

由于法拉第电磁感应定律方程(2),

 

将角频率与波数的色散关系式 带入:

 

所以,电场与磁场相互垂直于对方;磁场的大小等于电场的大小除以光速。

电磁波谱分解

 
电磁波谱显示出不同种类的电磁波的频率值域和波长值域。可见光谱只占有宽广的电磁波谱的一小部分。

由于麦克斯韦方程组在真空里的线性性质,其解答可以分解为一集合的正弦波。将这集合的正弦波的叠加在一起,又可以形成原本的解答。这是傅里叶变换方法解析微分方程的基础概念。电磁波方程的正弦波解的形式为

 
 

波矢与角频率的关系为

 

其中, 波长

按照波长长短,从长波开始,电磁波可以分类为电能无线电波微波红外线可见光紫外线X-射线伽马射线等等。普通实验使用的光谱仪就足以分析从2  奈米到2500 奈米波长的电磁波。使用这种仪器,可以得知物体、气体或甚至恒星的详细物理性质。这是天文物理学的必备仪器。例如,氢原子会发射波长为21.12公分的无线电波。

圆柱对称性解

 
原柱对称形共轴传输线

如图右,思考一条由半径为 的无穷长的直导线,和半径为 的无穷长的圆柱导电管,所组成的共轴传输线。假设这传输线与z-轴平行。由于共轴传输线的内部有一条直导线,不是空心的,它可以传输  的电磁横波,采用圆柱坐标 ,在传输线的内部空间,电场和磁场分别为[2]

 
 

这一组方程显示出电磁波方程的圆柱对称性解的一种形式。

球对称性解

思考一个位于原点的振荡中的磁偶极矩 。这磁偶极矩会发射出电磁波,从原点往无穷远辐射出去。采用球坐标 ,则在离原点很远的位置 ,电场和磁场分别为[2]

 
 

这是一组满足电磁波方程的球面波方程。

参阅

理论与实验

应用领域

参考文献

  1. ^ 麦克斯韦, 詹姆斯, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (PDF): pp. 499, 1864 [2009-12-15], (原始内容存档 (PDF)于2011-07-28) 
  2. ^ 2.0 2.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 411–412, 451–453. ISBN 0-13-805326-X.