二元运算

二元运算是种数学运算，它的运算结果跟两个输入值必须是同种东西，即元数为2的运算。比如说，两个整数的加法是二元运算，因整数相加以后仍然是整数。

定义

二元运算的定义 — 一个集合 $A$ 上的二元运算是一个定义域是 $A\times A$ 、对应域 $A$ 的函数。

如果从集合 $A$ 对自己的笛卡儿积 （也就是 $A\times A$ ）取出的任意 $(a,\,b)$ ，都会对应 $A$的某个值 $\mathrm {F} (a,\,b)$ ，那对应规则 $\mathrm {F}$ 的本身就被称为二元运算。

$\mathrm {F} (a,\,b)$ 通常写为 $a\mathrm {F} b$ ，而且比起使用字母，二元运算时常以某种运算符表示，来跟普通的函数作区别。

事实上 $\mathrm {F} :A\times A\rightarrow A$ 这个记号本身就保证了：“只要 $a,\,b\in A$ 就会有 $a\mathrm {F} b\in A$ ”，这个性质也称为（二元）运算封闭性。

常用性质和术语

关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

单位元

设 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元运算，$e\in A$，则：

• 称 $e$ 为一个 $A$ 的左幺元，若 $e$ 满足：$\forall a\in A,e\circ a=a$；
• 称 $e$ 为一个 $A$ 的右幺元，若 $e$ 满足：$\forall a\in A,a\circ e=a$；
• 称 $e$ 为 $A$ 的幺元，若 $e$ 既是左幺元、又是右幺元。

逆元

设 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上带有单位元 $e$ 的二元运算， $a,a'\in A$ 。则：

• 称 $a'$ 是一个 $a$ 的左逆元，若 $a,a'$ 满足： $a'\circ a=e$。
• 称 $a'$ 是一个 $a$ 的右逆元，若 $a,a'$ 满足： $a\circ a'=e$。
• 称 $a'$ 是 $a$ 的逆元，若 $a'$ 既是 $a$ 的左逆元、又是 $a$ 的右逆元。这种情况下 $a'$ 常被写作 $a^{-1}$ 或 $-a$ 。

零元

设 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元运算， $z\in A$ ，则：

• 称 $z$ 为一个左零元，若 $z$ 满足： $\forall a\in A,z\circ a=z$ ；
• 称 $z$ 为一个右零元，若 $z$ 满足： $\forall a\in A,a\circ z=z$ ；
• 称 $z$ 为零元，若 $z$ 既是左零元、又是右零元。

零因子

设 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的带有零元素 $z$ 的二元运算， $a\in A$ 且 $a\neq z$ 。则：

• 称 $a$ 是一个左零因子，若 $a$ 满足： $\exists b\in A\setminus \{z\}$ ，使得 $a\circ b=z$ 。
• 称 $a$ 是一个右零因子，若 $a$ 满足： $\exists b\in A\setminus \{z\}$ ，使得 $b\circ a=z$ 。
• 称 $a$ 是一个零因子，若 $a$ 既是左零因子、又是右零因子。

交换律

设 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元运算，则： 称 $\circ$ 满足交换律，若：$\forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a$；

结合律

设 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元运算，则： 称 $\circ$ 满足结合律，若： $\forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$；

消去律

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，则：

称$\circ$满足左消去律，若$\circ$满足：$\forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}c\circ a\neq c\circ b$

称$\circ$满足右消去律，若$\circ$满足：$\forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}a\circ c\neq b\circ c$

称$\circ$满足消去律，若$\circ$同时满足左消去律与右消去律。

幂等律

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，则： 称$\circ$满足幂等律，若$\circ$满足：$\forall a\in A,a\circ a=a$；

幂幺律

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，i是$A$在$\circ$下的幺元， 则：称$\circ$满足幂幺律，若$\circ$满足：$\forall a\in A,a\circ a=i$（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

幂零律

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，z是$A$在$\circ$下的零元， 则：称$\circ$满足幂零律，若$\circ$满足：$\forall a\in A$，有$a\circ a=z$（显然此时每个元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

分配律

设$\circ$: $A\times A\to A$和$\diamond$: $A\times A\to A$是集合$A$上的两个二元运算，则：

• 称$\circ$对$\diamond$ 满足左分配律，若$\circ$，$\diamond$ 满足：$\forall a,b,c\in A$，有$a\circ (b\diamond c)=(a\circ b)\diamond (a\circ c)$；
• 称$\circ$对$\diamond$ 满足右分配律，若$\circ$，$\diamond$ 满足：$\forall a,b,c\in A$，有$(b\diamond c)\circ a=(b\circ a)\diamond (c\circ a)$；
• 称$\circ$对$\diamond$ 满足分配律，若$\circ$对$\diamond$ 同时满足左分配律和右分配律。