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五边形六边形五角十二面七十四面体

五边形六边形五角十二面七十四面体（pentahexagonal pyritoheptacontatetrahedron）是一种具有五角十二面体群对称性的拟詹森多面体，其组成面有正六边形、正五边形和三角形，共有74个面，由梅森·格林（Mason Green）于2006年发现。梅森将之称为六边形扩张扭棱十二面体（hexagonally expanded snubbed dodecahedron）[1]。

五边形六边形五角十二面七十四面体
五边形六边形五角十二面七十四面体
类别拟詹森多面体
对称多面体（英语：Symmetrohedron）
对偶多面体见#对偶多面体一节
性质
面74
边132
顶点60
欧拉特征数F=74, E=132, V=60 （χ=2）
组成与布局
面的种类6个正六边形
12个正五边形
8+24+24个非正三角形
顶点布局
（英语：Vertex_configuration）		3.3.5.6
3.5.3.6
3.3.3.3.5
对称性
对称群Th, [3+,4], (3*2), 24阶
旋转对称群
（英语：Rotation_groups）		T, [3,3]+, (332), 12阶
特性
凸
图像
立体图

见#对偶多面体一节
（对偶多面体）
（展开图）
使用全部都是正多边形的拼片仍可拼出一个五边形六边形五角十二面七十四面体的模型，但面与面之间将会出现物理上可以忽略的微小空隙

由正五边形与正六边形组成的五边形六边形五角十二面七十四面体是一种对称多面体（英语：Symmetrohedron）[2]。此时的三角形不是正三角形，其在三角形-三角形棱上有约1.8%的压缩。[1]

性质

五边形六边形五角十二面七十四面体共由74个面、132条边和60个顶点所组成。在其74个面中，有6个正六边形、12个正五边形和56个不等边三角形，其中，这些三角形位于3个不同的对称性位置[1]。

组成五边形六边形五角十二面七十四面体的60个顶点可以分为三种，分别为两种2个三角形、1个五边形和1个六边形的公共顶点，两种顶点周围之面排列顺序不同，一种依三角形、三角形、五边形和六边形的顺序排列（3.3.5.6），这种顶点有24个，另一种依三角形、五边形、三角形和六边形的顺序排列（3.5.3.6），这种顶点有12个；以及4个三角形和1个五边形的公共顶点（3.3.3.3.5），这种顶点有24个。最后那种顶点布局方式与扭棱十二面体相共用。

拟詹森多面体

尽管五边形六边形五角十二面七十四面体无法以所有面都是正多边形面的形式存在，但若将其不等边三角形换成正三角形时仍可拼成一个多面体，但会存在十分微小的空隙，在物理上几乎可以忽略[2][3]类似于拼图悖论[4]，因此此多面体也可以被归类为拟詹森多面体[5][2]。

对偶多面体

根据对偶多面体的定义，多面体的对偶多面体之面将会是原始多面体的顶点图、对偶多面体的顶点图则对应到原像的面[6]，因此五边形六边形五角十二面七十四面体的对偶多面体有12个鹞形面（对应3.5.3.6顶点）、24个梯形面（对应3.3.5.6顶点）和24个五边形面（对应3.3.3.3.5顶点），共有60个面、132条边和74个顶点。

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    五边形六边形五角十二面七十四面体的对偶多面体，顶点的颜色对应原始多面体的面
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    与之对应的五边形六边形五角十二面七十四面体

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Jim McNeill. Near Misses based on dodecahedra. orchidpalms.com. [2023-01-18]. （原始内容存档于2015-02-02）. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Kaplan, Craig S.; Hart, George W., Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons, Bridges: Mathematical Connections in Art, Music and Science (PDF), 2001 [2023-01-18], （原始内容存档 (PDF)于2023-01-18） .
  3. ^ Joseph O’Rourke.Computational Geometry in C. Cambridge University Press, 2 edition, 1998.
  4. ^ Luchins, A. S. (1942). Mechanization in problem solving. Psychological Monographs, 54, No. 248.
  5. ^ Daniele Barbaro. La Pratica Della Perspettiva. 1569. Arnaldo Forni reprint, 1980. [2016-1-8]
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
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