代数几何与解析几何

数学中,代数几何与解析几何是两个关系密切的学科。代数几何研究代数簇,在复数域上,同时也能以复分析微分几何的技术研究代数簇。让-皮埃尔·塞尔在1956年的同名论文中比较了这两种观点。在 SGA 第一册附录中,则以概形论的语言重新表述。

性质的比较

给定一个   上的局部有限型概形  ,可以考虑相应的复解析空间  。此对应   定义一个从局部有限型概形范畴到复解析空间范畴的函子。对任一  -模  ,同样可考虑相应的  -模  ,这也给出相应的函子。可以证明   是一个正合、忠实且保守的函子。

论证中用到的关键性质是: 平坦 -模。

拓扑性质比较

  为一局部可构子集(即:局部闭集的有限并集),以下   的性质在   中成立,若且唯若在   中成立:

  • 开子集
  • 闭子集
  • 稠密子集

  为有限型态射时,对于    本身,下述性质也是相通的:

概形性质比较

以下性质对   成立,若且唯若对   成立:

  • 非空
  • 离散
  • 科恩-麦考利概形
  •  
  •  
  • 正规
  • 既约
  • 维度等于  

态射性质比较

  为概形的态射,   为复解析空间的相应态射,则下述性质对   成立若且唯若对   成立:

  • 平坦
  • 非分歧
  • 平展
  • 平滑
  • 正规
  • 既约
  • 分离
  • 单射(拓扑意义)
  • 同构
  • 单射(范畴论意义)
  • 开浸入

若再要求   是有限型态射,则可再加入下述性质:

  • 满射(拓扑意义)
  • 优势态射
  • 闭浸入
  • 浸入
  • 真态射
  • 有限态射

上同调比较

以下假设  真态射,对任一个凝聚  -模  ,有自然同构:

 

  时,遂有层上同调的比较定理:

 

此时   给出范畴的等价。

黎曼存在性定理

黎曼存在性定理则断言:若   -上的局部有限型概形,且   是复解析空间的有限平展覆盖,则存在  -概形   及平展态射  ,使得  。此外,函子   给出从【  的有限平展覆盖】到【  的有限平展覆盖】的范畴等价。

  为连通时,此定理的一个直接推论是代数基本群与拓扑基本群的比较定理:

 

其中  ,而   表示代数基本群   对有限指数子群的完备化

文献