伯努利试验

伯努利试验（Bernoulli trial，或译为白努利试验）是只有两种可能结果（“成功”或“失败”）的单次随机试验，即对于一个随机变量X而言，

$Pr[X=1]\;=\;p$

$Pr[X=0]\;=\;1-p$

本试验是由雅各布·白努利（德语：Jakob I. Bernoulli，1654年12月27日－1705年8月16日）所提出。

来自日常生活的解释

伯努利试验指的是单次事件，而这次事件的结果是两个可能性结果中的一个。这样的事件都可以表达成“是或否”（"yes or no"）问题。例如：

• 硬币掉落后是人头朝上吗？
• 刚出生的小孩是个男孩吗？
• 一个人的双眼是彩色的吗？
• 在有蚊子的地方喷洒杀蚊剂，蚊子会死掉吗？
• 一个可能是顾客的人会买我的产品吗？
• 公民（citizen）会投给特定的候选人吗？
• 雇员会投票支持工会吗?

因此结果称为“成功”和“失败”，而结果不应该照字面推断。伯努利试验的例子包括：

• 抛硬币。在这里，正面（人头面）通常表示成功而反面（刻字面）表示失败。一枚均匀硬币，按照定义成功机会是一半p=1/2。
• 掷骰子，在这个例子里我们称六是"成功"而其他都是"失败"，p=1/6。
• 在四式选择题，答对的机会p=1/4。
• 实施一个政见调查（political opinion poll），随机选择一个投票者并了解这个投票者在接下来的公民投票（referendum）会不会投"是"。

在数学上，这样的试验是以随机变量为模型，而随机变量只能有两个值：0和1，1被认为是"成功"。在单次的伯努利试验中，如果 p 是成功的概率，那么将呈现伯努利分布，此时随机变量的期望值就是 p ，且其标准差为${\sqrt {p(1-p)}}.$

一个伯努利过程（Bernoulli process）是由重复出现独立但是相同分布的伯努利试验组成，例如抛硬币十次，而此时呈现之结果将呈现二项分布。

参见

• 卜瓦松试验
• 伯努利分布