伴随函子

在范畴论中，函子$F,G$若满足$\mathrm {Hom} (F(-),-)=\mathrm {Hom} (-,G(-))$，则称之为一对伴随函子，其中$G$称为$F$的右伴随函子，而$F$是$G$的左伴随函子。伴随函子在范畴论中是个极基本而有用的概念。

定义

设$F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2},\;G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}$为函子，若存在双函子的同构

$\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G(-))$

则称$F,G$为一对伴随函子，$G$称为$F$的右伴随函子，而$F$是$G$的左伴随函子。

上述同构进一步给出两个同构

$\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F\circ G(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(G(-),G(-))$

$\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),F(-))\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G\circ F(-))$

分别在同构的左右两侧置$\mathrm {id} _{F(-)}$与$\mathrm {id} _{G(-)}$，遂得到函子间的态射（即自然变换）：

$\mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{1}}\to G\circ F\quad$（单位）

$F\circ G\to \mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{2}}\quad$（上单位）

定义中的双函子同构由单位与上单位唯一决定。

正合性

设$F,G$是一对伴随函子，若$F$为右正合则$G$为左正合；此命题可由正合函子与极限的定义直接导出。

例子

伴随函子在数学中处处可见，以下仅举出几个例子：

• 自由对象与遗忘函子是一对伴随函子，举群范畴为例，此时单位态射不外是集合$X$到它生成的自由群$F(X)$的包含映射。
• 积与对角函子。
• 设$R$为环，$M$为右$R$-模，则$M\otimes _{R}-:_{R}\mathbf {Mod} \to \mathbf {Ab}$与$\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(-,M):\mathbf {Ab} \to _{R}\mathbf {Mod}$为一对伴随函子。当$R$可交换时，上式的$\mathbb {Z}$可代为$R$，$\mathbf {Ab}$可代为$_{R}\mathbf {Mod}$。
• 层的正像与逆像。
• 群表示理论中的弗罗贝尼乌斯互反定理（详阅诱导表示）。

文献

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部链接

• Pierre Schapira, Categories and Homological Algebra