模论中,一个 上的左 若可表为单模的直和,便称 半单模

本条目中的环皆有乘法单位元素 。对于右模,相应的陈述依然成立。

等价定义

以下陈述彼此等价:

  •   是单模的和。
  •   是其单子模的和。
  • 对每个子模  ,存在子模   使得  

性质

  •   是半单模,则其子模与商模亦然。
  •   是半单模,则   亦然。

半单环

借由环的乘法运算,每个环   都可视为左(或右)  -模。若   是半单  -模,则称  半单环。可以证明:环   是半单左模若且唯若它是半单右模。半单环必然兼为诺特环阿廷环

半单环的角色之一,在于半单环   上的模都是半单模,而且任何单左模都可嵌入   中,成为其极小左理想。这遂大大便利了对  -模结构的研究。

对于非交换环,单环未必是半单环,尽管术语上引人如此联想。

例子

  •    有限群,则群代数   半单的充要条件是   的特征不整除  。此结果是有限群表示理论的基石。
  • Artin-Wedderburn 定理给出了半单环的结构:一个环   半单若且唯若它同构于  ,其中每个   皆为除环  表示   上的   矩阵代数。
  •   为域   上之有限维向量空间 。则  多项式环   上的左模,结构由   给出。此时   半单的充要条件是  代数闭包  可对角化

文献

  • N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
  • R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
  • T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.