堆垒数论

数论中,堆垒数论(additive number theory)也称为堆叠数论加性数论,研究整数的子集合,以及其在加法下的特性。堆垒数论的领域也包括对于有加法的阿贝尔群交换半群英语commutative semigroup的研究。堆垒数论和组合数论及几何数论有密切的关系。其中主要研究的二个物件分别是阿贝尔群G中二个子集AB和集

,

以及A的h重和集

有二个主要的子领域,描述如下。

堆垒数论

此领域主要关注整数的直接问题,也就是由A的结构来判断hA的结构。例如假设A是个固定的子集,判断哪些元集可以表示为hA的和[1]。此领域有二个经典的问题,一个是哥德巴赫猜想(猜想2P包括了所有大于2的偶数,其中P质数)以及华林问题(确认h要多大才能确保hAk包括所有正整数,其中

 

是k次方的集合)。其中许多问题都使用了源自哈代-李特尔伍德圆法筛法的工具。例如Vinogradov证明了每一个够大的奇数都可以表示为三个质数的和,以及所有够大的偶数都可以表示都可以表示为四个质数的和。希尔伯特证明,对于每一个大于1的整数k,每一个非负整数都是有限个k次方数的和。一般而言,非负整数的集合A,若可以让hA包括所有的正整数,A会称为h阶的基底(basis of order h),若hA包括所有够大的整数,A会称为渐近基底(asymptotic basis)。许多近期的研究是关注有限阶渐近基底的一般特性。例如,若集合Ah阶渐近基底,而集合A的真子集都不是h阶渐近基底,则集合A称为h阶的最小渐近基底。而埃尔德什-图兰堆垒基猜想英语Erdős–Turán conjecture on additive bases也是有关渐近基底的猜想。

加性组合学

第二个领域主要是关注反问题,多半是和多个比整数范围要广的群有关,假设已知A+B sumset的资讯,目的是要找到个别集合AB的资讯[2]。(最近此子领域常用的名称为加性组合学)。和上述有关基底的问题不同,此领域处理的多半是有限个子集而不是无限个。典型的问题是二个子集的sumset有很小的(和|A|和|B|相比),二个子集有什么样的结构。在整数的例子中,经典的Freiman问题英语Freiman's theorem多维算术级数英语multi-dimensional arithmetic progression提供了有力的部分答案。另一个典型的问题是要将|A+B|的下限以|A|和|B|来表示。这类问题的例子有Erdős–Heilbronn猜想英语Erdős–Heilbronn Conjecture(针对restricted sumset英语restricted sumset)及柯西–达文波特定理英语Cauchy–Davenport theorem。用来解决这类问题的方式来自各数学领域,例如组合学、遍历理论分析图论群论、线性代数及多项式法。

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参考资料

  1. ^ Nathanson (1996) II:1
  2. ^ Nathanson (1996) II:6
  • Henry Mann. Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory Corrected reprint of 1965 Wiley. Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. 1976. ISBN 0-88275-418-1. 
  • Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 164. Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002. 
  • Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics 165. Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003. 
  • Tao, Terence; Vu, Van. Additive Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 105. Cambridge University Press. 2006. 

外部链接