多连立方体

多连立方体是由一个或是多个立方体互相连结组成的几何形状;也是平面多连方块(也称多格骨牌四角系统)的三维版本。多连立方体的应用有索马立方贝德兰姆立方的组合问题等[1]

八个四连立方体。若忽略手性,底部的2个灰白色的四连立方体可以视为是相同的,因此总共有7个自由的四连立方体
一个拼合五连立方体有唯一解的组合谜题
手性英语Chirality (mathematics)的五连立方体

多连立方体的列举

像平面多方块组合一样,多连立方体的列举方式有两种,分成考虑镜对称与不考虑镜对称两种计算方式。例如,6个四连立方体具有镜像对称性,一个是手性的,所以考虑镜对称有7种、不考虑镜对称则有8种四连立方体。[2]多连立方体计算镜射的方式与多格骨牌不同,因为多格骨牌可以将其翻转过来形成镜射像,而多连立方体不能。尤其是在索马立方就包含了两种形式的手性四连立方体。

多连立方体可根据它们由多少个立方体单元组成进行分类:[3]

n 多连立方体的名称 不考虑镜对称 考虑镜对称
1 单立方体
monocube
1 1
2 双立方体
dicube
1 1
3 三连立方体
tricube
2 2
4 四连立方体
tetracube
8 7
5 五连立方体
pentacube
29 23
6 六连立方体
hexacube
166 112
7 七连立方体
heptacube
1023 607
8 八连立方体
octocube
6922 3811

多连立方体已被枚举到十六连立方体(n=16)[4]

多连立方体的对称性

多格骨牌一样,多连立方体也可以根据其对称性来进行分类。多连立方体对称性(非手性八面体群子群的共轭类)由W·F·伦农(W. F. Lunnon)在 1972 年首次列举。大多数多连立方体是不对称的,但许多具有更复杂的对称群,甚至存在有多达48个元素的立方体全对称群。其他种类的对称性也是有可能的,例如七种八重对称性的可能形式。[2]

五连立方体

12个平面的五连立方体与五格骨牌相互对应。其馀17个五连立方体中,5个具有镜像对称性,另外12个形成6组手性对。

五连立方体的包围盒可能的尺寸有5×1×1、4×2×1、3×3×1、3×2×1、4×2×2、3×2×2和2×2×2。[5]

八连立方体与超立方体展开图

 
达利十字

四维空间超立方体三维空间立方体在四维空间的类比,由8个立方体组成,其可以像立方体展开成六连正方形那样展开为八连立方体。其中一个展开与立方体较知名的展开图——展开成拉丁十字的外形类似,他由四个立方体堆叠组成,另外四个立方体附著于四个堆叠立方体的第二个立方体露出的4个面上,形成一个三维空间双十字的样式。萨尔瓦多·达利将这种形状用于其1954的画作《耶稣受难英语Crucifixion (Corpus Hypercubus)》上[6]:72[7],并在罗伯特·海莱因1940年的短篇小说《—且他建造了一座歪曲的房子—英语"—And_He_Built_a_Crooked_House—"》中也有所描述。[8]为了纪念达利,这个八连立方体被称为达利十字。[9][10]这个八连立方体可以填充空间[9]

更一般地说,在所有 3811 个不同的自由八连立方体中,有261个是四维超正方体展开图[9][11]

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参考资料

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Polycube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-07-27]. (原始内容存档于2017-06-29) (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 Lunnon, W. F., Symmetry of Cubical and General Polyominoes, Read, Ronald C. (编), Graph Theory and Computing, New York: Academic Press: 101–108, 1972, ISBN 978-1-48325-512-5 
  3. ^ Polycubes, at The Poly Pages. recmath.org. [2022-08-12]. (原始内容存档于2021-07-25). 
  4. ^ Kevin Gong's enumeration of polycubes. [2022-08-12]. (原始内容存档于2013-09-04). 
  5. ^ Aarts, Ronald M英语Ronald Aarts. "Pentacube". From MathWorld. [2022-08-13]. (原始内容存档于2019-09-08). 
  6. ^ Theoni Pappas, 陈以鸿译. 《數學放輕鬆》. 台北县新店市: 世茂出版社. 2004. ISBN 9577766110. 
  7. ^ Kemp, Martin, Dali's dimensions, Nature, 1 January 1998, 391 (27): 27, Bibcode:1998Natur.391...27K, doi:10.1038/34063  
  8. ^ Fowler, David, Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction, World Literature Today, 2010, 84 (3): 48–52, JSTOR 27871086, Robert Heinlein's "And He Built a Crooked House," published in 1940, and Martin Gardner's "The No-Sided Professor," published in 1946, are among the first in science fiction to introduce readers to the Moebius band, the Klein bottle, and the hypercube (tesseract). .
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 Diaz, Giovanna; O'Rourke, Joseph, Hypercube unfoldings that tile   and  , 2015, Bibcode:2015arXiv151202086D, arXiv:1512.02086  .
  10. ^ Langerman, Stefan; Winslow, Andrew, Polycube unfoldings satisfying Conway's criterion (PDF), 19th Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games (JCDCG^3 2016), 2016 [2022-08-12], (原始内容存档 (PDF)于2022-09-18) .
  11. ^ Turney, Peter, Unfolding the tesseract, Journal of Recreational Mathematics, 1984, 17 (1): 1–16, MR 0765344 

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