大筛法

大筛法（large sieve）是解析数论上的一类方法。跟塞尔伯格筛法等只移除数个同馀类的小筛法不同的是，大筛法是一类可移除掉多达半数同馀类的筛法。这类筛法的概念为可移除任意多同馀类的更大筛法所推广。

名字

这筛法的名字源自其原始应用：给定一个集合$S\subset \{1,\ldots ,N\}$，且规定其元素不能同时是对任意质数$p$取模的集合$A_{p}\subset \mathbb {Z} /\mathbb {Z} _{p}$的元素，那么$S$可以有多大？在此，$A_{p}$被假定是一个很大，大到大约与$p$乘一个常数的集合；若不是此种情况，那就将相关的筛法给称为“小筛法”。

历史

大筛法的历史可追溯至1941年尤里·林尼克对最小二次非剩馀的研究及雷尼·奥尔弗雷德以机率论方法对此进行的后续研究；然而直到大约二十年后，由于许多其他学者的贡献，大筛法的形式才变得更加确定。大筛法的确定形式，是在1960年代早期，由克劳斯·罗特及恩里科·邦别里各自独立发展出来的；而也是在这时，大筛法及二元性原理之间的连结逐渐变得明朗。在1960年代中期，大筛法的其中一个主要应用，是借由估计狄利克雷特征的平均值来证明邦别里-维诺格拉多夫定理；而之后在1960年代晚期及1970年代早期，帕特里克·X·加拉格尔简化了该证明的许多元素跟估计。

发展

目前对大筛法的发展已相对充分，因此大筛法也适用于许多本来使用小筛法的情形上。

一个跟大筛法有关的问题，未必是该问题是否关乎上述的情境，而是该问题的证明是否用到了下述两种传统上用以得到大筛法结果的方法的任何一种：

普朗歇尔不等式的估计

假若集合$S$对质数$p$取模的结果有不良分布（也就是说，不包含在同馀类$A_{p}$当中），那么$S$对质数$p$取模后的集合的特征方程$f_{p}$的傅立叶系数${\widehat {f_{p}}}(a)$平均而言会很大。这些系数可提至对$S$的特征方程$f$的傅立叶变换${\widehat {f}}$的取值${\widehat {f}}(a/p)$（也就是${\widehat {f}}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a)$）

借由有界微分，可知平均来说，对所有靠近有理数$a/p$的数而言，${\widehat {f}}(x)$必然会很大。这里所谓的“很大”指的是“有一个相对较大的常数乘上$\left|S\right|$”。

由于$|f|_{2}={\sqrt {|S|}},$之故，因此除非$\left|S\right|$很小，不然我们可得到一个与普朗歇尔不等式（Plancherel inequality）相矛盾的结果：

$|{\widehat {f}}|_{2}=|f|_{2}$

在实务上，为了得到最佳化的上下界，人们常将普朗歇尔不等式（Plancherel inequality）给改成一个等式，而非上述的有界形式。

二元性原理（Duality principle）

人们也可透过以下泛函分析的基本事实证明大筛法的强结果：

对一个线性算子而言，其范数会与其伴随的范数相等。像例如$\sup _{v}|Av|_{W}/|v|_{V},\,$（此处A是一个将线性空间$V$映至线性空间$W$的算子）会等于$\sup _{w}|A^{*}w|_{V}^{*}/|w|_{W}^{*}$。

而在一些数学文献中，该原理本身就被称为“大筛法”。

此外也可使用塞尔伯格式的强级数，来得到大筛法。详情可见塞尔伯格《合集》第二卷（Collected Works vol II）中的“筛法讲义”（Lectures on sieves）一节。

参见

• 邦别里-维诺格拉多夫定理
• 更大筛法

注解

• Hazewinkel, Michiel (编), l/l057580, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Cojocaru, Alina Carmen; Murty, M. Ram. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66. Cambridge University Press. : 135–155. ISBN 0-521-61275-6. Zbl 1121.11063. 
• Davenport, Harold. Multiplicative Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 74. Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery 3rd. Springer-Verlag. 2000. ISBN 0-387-95097-4. Zbl 1002.11001. 
• Friedlander, John; Iwaniec, Henryk. Opera de Cribro. AMS Colloquium Publications. 2010. ISBN 978-0-8218-4970-5. Zbl 1226.11099. 
• Hooley, Christopher. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. 1976: 17–20. ISBN 0-521-20915-3. 
• Kowalski, Emmanuel. The Large Sieve and its Applications. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-88851-6. 
• Tenenbaum, Gérald. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge studies in advanced mathematics 46. Cambridge University Press. 1995: 62–73. ISBN 0-521-41261-7.