几乎处处

在测度论里，若说一个性质为几乎处处成立，即表示不符合此性质的元素组成的集合为一零测集，即其测度等于零的集合。当使用在实数的性质上时，若没有另外提起则假定为勒贝格测度。

一个有全测度的集合是一个其补集为零测度的集合。

除了说一个性质几乎处处成立之外，偶尔亦可以说一个性质是对几乎所有元素成立的，即使几乎所有这一词有著其他的意义。

下面是包含有“几乎处处”这一词的一些定理：

• 若$f$ : $R$→$R$为一勒贝格可积函数且$f(x)$几乎处处大于零，则

$\int f(x)\,dx\geq 0$。

• 若$f$ : $[a,b]$→$R$为一单调函数，则$f$几乎处处可微。
• 当$f$ : $R$→$R$为勒贝格可积且对所有实数$a<b$，

$\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty$

则存在一零集E（根据$f$）使得若$x$不在$E$内，其勒贝格平均

${\frac {1}{2\epsilon }}\int _{x-\epsilon }^{x+\epsilon }f(t)\,dt$

便会收敛至$f(x)$，当ε趋向至零时。换句话说，$f$的勒贝格平均几乎处处收敛至$f$。集合E则称为$f$的勒贝格集合，且可以证明为零测度的。

• 若$f(x,y)$在$R^{2}$上为博雷尔可测的，则对几乎所有$x$，函数$y$→$f(x,y)$为博雷尔可测的。

• 一有界函数$f$ : $[a,b]$->$R$为黎曼可积的，若且唯若其为几乎处处连续的。

在实分析之外，“几乎处处”一词可以用极大滤子定义。例如在超实数的建构中，一个超实数被定义为相对于某一滤子几乎处处相等的等价类。

在抽象代数及其相关领域中，“几乎处处”通常指某性质只对给定集合中的有限个元素不成立。

在概率论里，这一词变成了“几乎必然”，“几乎确定”或“几乎总是”，相对于一为1的概率。

参考

• Billingsley, Patrick. Probability and measure 3rd edition. New York: John Wiley & sons. 1995. ISBN 978-0-471-00710-4.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Halmos, Paul R. Measure Theory. New York: Springer-Verlag. 1974. ISBN 978-0-387-90088-9.