弯曲 （bending ）也称为屈曲 （flexure ），为材料力学 的名词．是指一形状狭长的结构件固体，受到和其长轴垂直的外力时，固体变形的情形。
工字梁 的弯曲若结构件在某一方向长度很长，另外二方向的尺寸是该方向尺寸的1/10或更小，即满足上述形状狭长的定义[ 1] 梁 。例如衣櫉中的横杆会因为衣架 上衣服的总重量而变形，就是梁受力弯曲的例子。另外方面，壳层
若没有具体说明物体的形状，“弯曲”可以指任何外形物体的弯曲。在工程应用上，有时会说明弯曲物体的形状，例如“杆的弯曲”（bending of rods）[ 2] [ 1] 平板弯曲 [ 3] [ 2]
水平梁受力弯曲，梁上半部（B）受到压应力，梁下半部（A）受到拉伸应力 梁在受到侧向力时，其内部会变形，而且会产生应力 。准静（quasi-static）弯曲是假设弯曲产生的形变 以及应力不随时间而变化。若考虑一水平梁，两侧固定，中间受到往下的力，梁的上半部会受到压缩力，而梁的下半部会受到拉伸力。由于其侧向力，会产生以下两种内应力：
和侧向力平行的剪应力 ，以及和受力方向垂直的互补剪应力
梁上半部受到的直接压应力 ，以及梁下半部受到的直接拉伸应力。 后二个力会形成力偶 或是矩 弯矩 [ 1]
弯曲梁的元素：梁中和梁平行的元素会形成同心圆弧，最上方的受压缩，最下方的受力伸张 梁的弯矩 在细长梁的欧拉-伯努力栋梁方程 中，重要的假设是“平面截面在受力后仍维持平面”，换句话说，不考虑剪力对截面的影响（无剪切形变）。而且线性的应力应力分布只适用于最大应力小于材料屈服强度 情形。（条目塑性弯曲 中性轴 抗挠强度
考虑以下条件成立的梁：
梁一开始是细长笔直的，就算有锥度，锥度也很小可以省略。
材料是各向同性（或是正交各向异性 线性弹性 ，在任一截面都同质 （不过沿著轴不一定要同质）。
只考虑小的形变。 此情形下，描述梁形变（
w
{\displaystyle w}
d
2
w
(
x
)
d
x
2
=
M
(
x
)
E
(
x
)
I
(
x
)
{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}
其形变相对
x
{\displaystyle x}
E
{\displaystyle E}
杨氏模量 ，
I
{\displaystyle I}
截面二次轴矩 ，
M
{\displaystyle M}
若细长梁沿著其轴向也是同质 ，而且其截面不会沿著轴而变化，而且也因为侧向负荷
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
[ 1]
E
I
d
4
w
(
x
)
d
x
4
=
q
(
x
)
{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}
这就是梁弯曲的欧拉-伯努力方程（欧拉-伯努力栋梁方程）。
若找到了梁形变位移的解，可以用下式计算弯矩（
M
{\displaystyle M}
Q
{\displaystyle Q}
M
(
x
)
=
−
E
I
d
2
w
d
x
2
;
Q
(
x
)
=
d
M
d
x
.
{\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}
简单的梁弯曲常用欧拉-伯努力栋梁方程来分计。可以适用简单弯曲理论的条件如下[ 4]
梁受到的力是纯弯曲 剪力 为零，也没有轴向负载以及沿著轴旋转的负载。
材料为各向同性 （或是正交各向异性 同质 。
材料遵守胡克定律 （在线性弹性范围内，不会有塑性形变）。
梁一开始是笔直的，截面不会随著轴而变化。
至少一个梁有在弯曲平面上的对称轴。
梁的组成成份适当，使其最后是因为弯曲而失效，不是因为破裂、皱折或挫曲 而失效。
梁的截面在弯曲过程中仍维持平面。 梁的形变对称，并且符合叠加定律 在承受弯曲负荷时，沿著梁的轴上会产生压缩力及伸张力。这些力会造成梁内部的应力 。最大压缩应力出现在梁的最上方，最大拉伸应力出现在梁的最下方。在中间的应力会呈线性变化，因此在梁内部，有一些点的弯曲应力为零。这些点的轨迹 的轨迹称为中性轴（neutral axis）。因为中性轴不受应力，中性轴附近的应力也比较小，若截面中的各个位置都是均质的，在中性轴附近的材料利用率较低，比较不经济。宽缘梁（如工字梁 ）及桁架 箱梁
在纯弯曲下，决定弯曲应力的公式如下[ 5]
σ
x
=
M
z
y
I
z
=
M
z
W
z
{\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}}
其中
σ
x
{\displaystyle {\sigma _{x}}}
M
z
{\displaystyle M_{z}}
z 的矩
y
{\displaystyle y}
I
z
{\displaystyle I_{z}}
截面二次轴矩
W
z
{\displaystyle W_{z}}
W
z
=
I
z
/
y
{\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}
方程式
σ
=
M
y
I
x
{\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}}
极限状态 。
上述推导只用在截面对称的条件。针对非对称截面的均质梁，梁的最大弯曲应力如下：
σ
x
(
y
,
z
)
=
M
z
I
y
−
M
y
I
y
z
I
y
I
z
−
I
y
z
2
y
+
M
y
I
z
−
M
z
I
y
z
I
y
I
z
−
I
y
z
2
z
{\displaystyle \sigma _{x}(y,z)={\frac {M_{z}~I_{y}-M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}-M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z}
[ 6] 其中
y
,
z
{\displaystyle y,z}
M
y
{\displaystyle M_{y}}
M
z
{\displaystyle M_{z}}
几何中心 y轴和z轴的弯轴。
I
y
{\displaystyle I_{y}}
I
z
{\displaystyle I_{z}}
截面二次轴矩 ，
I
y
z
{\displaystyle I_{yz}}
M
y
,
M
z
,
I
y
,
I
z
,
I
y
z
{\displaystyle M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}}
针对梁的大幅形变，可以用以下延伸版本的公式来计算。其假设如下：
假设截面维持平面，在弯曲前和弯曲后的截面都维持平面
和截面法向量垂直的剪应力和正向应力没有影响平行截面的正向应力。 若弯曲半径
ρ
{\displaystyle \rho }
ρ
<
10
h
.
{\displaystyle \rho <10h.}
配合上述假设，大弯曲形变的应力为：
σ
=
F
A
+
M
ρ
A
+
M
I
x
′
y
ρ
ρ
+
y
{\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}
其中
F
{\displaystyle F}
A
{\displaystyle A}
M
{\displaystyle M}
ρ
{\displaystyle \rho }
I
x
′
{\displaystyle {{I_{x}}'}}
x 轴的面积惯量矩，在
y
{\displaystyle y}
平行轴定理 ）
y
{\displaystyle y}
σ
{\displaystyle \sigma }
y 轴上的位置。若弯曲半径
ρ
{\displaystyle \rho }
y
≪
ρ
{\displaystyle y\ll \rho }
σ
=
F
A
±
M
y
I
{\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}}
铁木辛柯梁的变形。其法向量转动的量
θ
{\displaystyle \theta }
d
w
/
d
x
{\displaystyle dw/dx}
斯蒂芬·铁摩辛柯 在1921年以欧拉-伯努力弯曲理论为基础，在方程式中加入了剪力的影响。铁摩辛柯（Timoshenko）理论的动力假设如下：
梁中性面的法向在弯曲之后仍为直线
梁的厚度不会随著形变而改变。 不过，中性面的法向在弯曲后不一定会和中性面垂直。
线性弹性、各向同性、均质、等截面积的梁，在上述假设下，准静弯曲的方程如下[ 7]
E
I
d
4
w
d
x
4
=
q
(
x
)
−
E
I
k
A
G
d
2
q
d
x
2
{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}
其中
I
{\displaystyle I}
截面二次轴矩 、
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
剪切模量 、是
k
{\displaystyle k}
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
泊松比
ν
{\displaystyle \nu }
k
=
5
+
5
ν
6
+
5
ν
{\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}
法向量的转动
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
d
φ
d
x
=
−
d
2
w
d
x
2
−
q
(
x
)
k
A
G
{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}
M
{\displaystyle M}
Q
{\displaystyle Q}
M
(
x
)
=
−
E
I
d
φ
d
x
;
Q
(
x
)
=
k
A
G
(
d
w
d
x
−
φ
)
=
−
E
I
d
2
φ
d
x
2
=
d
M
d
x
{\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}
梁的动态弯曲（dynamic bending）[ 8] 丹尼尔·伯努利 在18世纪中所提出的。伯努利的振动梁运动方程容易高估梁的自然频率 ，约翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵 在1877年多加入了中间平面的旋转项，有些微改善。1921年斯蒂芬·铁摩辛柯 在弯曲梁的动态响应中多考虑了剪力的影响，大幅提升准确度。因此此定理可以用在有高频振动，不适用动态丹尼尔·伯努利方程场合。欧拉-伯努力以及铁摩辛柯的弯曲梁动态方程仍广泛在工程界使用。
针对细长、各向同性、均质、截面积不变的梁，在受到动态侧向负载
q
(
x
,
t
)
{\displaystyle q(x,t)}
[ 7]
E
I
∂
4
w
∂
x
4
+
m
∂
2
w
∂
t
2
=
q
(
x
,
t
)
{\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}
其中
E
{\displaystyle E}
I
{\displaystyle I}
w
(
x
,
t
)
{\displaystyle w(x,t)}
m
{\displaystyle m}
若梁没有侧向力时，其振动方程如下
E
I
∂
4
w
∂
x
4
+
m
∂
2
w
∂
t
2
=
0
{\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}
梁不受力下的简谐振动可以表示如下
w
(
x
,
t
)
=
Re
[
w
^
(
x
)
e
−
i
ω
t
]
⟹
∂
2
w
∂
t
2
=
−
ω
2
w
(
x
,
t
)
{\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}
其弯曲方程为
E
I
d
4
w
^
d
x
4
−
m
ω
2
w
^
=
0
{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}
上式的通解为
w
^
=
A
1
cosh
(
β
x
)
+
A
2
sinh
(
β
x
)
+
A
3
cos
(
β
x
)
+
A
4
sin
(
β
x
)
{\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}
其中
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}
β
:=
(
m
E
I
ω
2
)
1
/
4
{\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}
悬臂工字梁的振动模态
1次横向弯曲 1次转动 1次垂直弯曲
2次横向弯曲 2次转动 2次垂直弯曲
瑞利在1877年修正了欧拉-伯努力弯曲理论，多考虑了梁的截面的转动惯量造成的效应。铁木辛柯在1922年进一步的修正，多考虑了剪力的影响。铁木辛柯﹣瑞利理论中允许梁的中表面之法向的剪力形变。
针对细长、各向同性、均质、截面积不变的梁，在受到动态侧向负载下，铁木辛柯﹣瑞利理论的动态弯曲方程为[ 7] [ 9]
E
I
∂
4
w
∂
x
4
+
m
∂
2
w
∂
t
2
−
(
J
+
E
I
m
k
A
G
)
∂
4
w
∂
x
2
∂
t
2
+
J
m
k
A
G
∂
4
w
∂
t
4
=
q
(
x
,
t
)
+
J
k
A
G
∂
2
q
∂
t
2
−
E
I
k
A
G
∂
2
q
∂
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}
其中
J
=
m
I
A
{\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}}
极惯性矩 ，
m
=
ρ
A
{\displaystyle m=\rho A}
ρ
{\displaystyle \rho }
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
k
{\displaystyle k}
ν
{\displaystyle \nu }
k
=
5
+
5
ν
6
+
5
ν
rectangular cross-section
=
6
+
12
ν
+
6
ν
2
7
+
12
ν
+
4
ν
2
circular cross-section
{\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}
若梁没有侧向力时，铁木辛柯﹣瑞利理论的简谐振动方程如下
E
I
d
4
w
^
d
x
4
+
m
ω
2
(
J
m
+
E
I
k
A
G
)
d
2
w
^
d
x
2
+
m
ω
2
(
ω
2
J
k
A
G
−
1
)
w
^
=
0
{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0}
此式求解时，考虑
w
{\displaystyle w}
e
k
x
{\displaystyle e^{kx}}
特征方程式
α
k
4
+
β
k
2
+
γ
=
0
;
α
:=
E
I
,
β
:=
m
ω
2
(
J
m
+
E
I
k
A
G
)
,
γ
:=
m
ω
2
(
ω
2
J
k
A
G
−
1
)
{\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)}
此四次方程 的解为
k
1
=
+
z
+
,
k
2
=
−
z
+
,
k
3
=
+
z
−
,
k
4
=
−
z
−
{\displaystyle k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}}
其中
z
+
:=
−
β
+
β
2
−
4
α
γ
2
α
,
z
−
:=
−
β
−
β
2
−
4
α
γ
2
α
{\displaystyle z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}}
无外力振动下，铁木辛柯﹣瑞利梁方程的通解为
w
^
=
A
1
e
k
1
x
+
A
2
e
−
k
1
x
+
A
3
e
k
3
x
+
A
4
e
−
k
3
x
{\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}}
薄板的变形，其中突显其位移、中表面（红色）以及中表面的法向（蓝色） 梁的特点是其中一个方向的尺寸远大于另外二个方向的尺寸。一结构若其中一个方向的尺寸远小于另外二个方向的尺寸，则称为平板。有许多理论要描述平板在受力下的形变以及应力分布（板理论 ），其中有二种理论比较常用，分别是
克希荷夫–勒夫平板理论（Kirchhoff–Love theory of plates，也称为经典平板理论）
明德林–赖斯纳平板理论（Mindlin–Reissner plate theory，也称为一阶平板理论）
克希荷夫–勒夫平板理论
和中表面垂直的直线在形变后仍然是直线
和中表面垂直的直线在形变后仍然和中表面直线垂直
在形变前后，平板的厚度不会变化。 上述的假设意味著
u
α
(
x
)
=
−
x
3
∂
w
0
∂
x
α
=
−
x
3
w
,
α
0
;
α
=
1
,
2
u
3
(
x
)
=
w
0
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
其中
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
w
0
{\displaystyle w^{0}}
应变和位移的关系如下
ε
α
β
=
−
x
3
w
,
α
β
0
ε
α
3
=
0
ε
33
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
平衡方程式为
M
α
β
,
α
β
+
q
(
x
)
=
0
;
M
α
β
:=
∫
−
h
h
x
3
σ
α
β
d
x
3
{\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}
其中
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
若以位移来表示，在没有外力下，各向同性、线弹性平板的平衡方程为
w
,
1111
0
+
2
w
,
1212
0
+
w
,
2222
0
=
0
{\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}
若以直接张量表示法，可以表示如下
∇
2
∇
2
w
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}
明德林–赖斯纳平板理论
u
α
(
x
)
=
−
x
3
φ
α
;
α
=
1
,
2
u
3
(
x
)
=
w
0
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
其中
φ
α
{\displaystyle \varphi _{\alpha }}
依照以上假设，应变和位移之间的关系是
ε
α
β
=
−
x
3
φ
α
,
β
ε
α
3
=
1
2
κ
(
w
,
α
0
−
φ
α
)
ε
33
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
其中
κ
{\displaystyle \kappa }
平衡方程为
M
α
β
,
β
−
Q
α
=
0
Q
α
,
α
+
q
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}
其中
Q
α
:=
κ
∫
−
h
h
σ
α
3
d
x
3
{\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}
平板的动态理论会决定在平板上震波的传播，以及其驻波以及振动模态。克希荷夫平板动态弯曲的统御方程如下
M
α
β
,
α
β
−
q
(
x
,
t
)
=
J
1
w
¨
0
−
J
3
w
¨
,
α
α
0
{\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}
其中（假设板的密度为
ρ
=
ρ
(
x
)
{\displaystyle \rho =\rho (x)}
J
1
:=
∫
−
h
h
ρ
d
x
3
;
J
3
:=
∫
−
h
h
x
3
2
ρ
d
x
3
{\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}}
以及
w
¨
0
=
∂
2
w
0
∂
t
2
;
w
¨
,
α
β
0
=
∂
2
w
¨
0
∂
x
α
∂
x
β
{\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}}
以下是一些圆形平板的振动模态。
mode k = 0, p = 1
mode k = 0, p = 2
mode k = 1, p = 2
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Boresi, A. P. and Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M., 1993, Advanced mechanics of materials , John Wiley and Sons, New York.
^ 2.0 2.1 Libai, A. and Simmonds, J. G., 1998, The nonlinear theory of elastic shells , Cambridge University Press.
^ Timoshenko, S. and Woinowsky-Krieger, S., 1959, Theory of plates and shells , McGraw-Hill.
^ Shigley J, "Mechanical Engineering Design", p44, International Edition, pub McGraw Hill, 1986, ISBN 0-07-100292-8
^ Gere, J. M. and Timoshenko, S.P., 1997, Mechanics of Materials , PWS Publishing Company.
^ Cook and Young, 1995, Advanced Mechanics of Materials, Macmillan Publishing Company: New York
^ 7.0 7.1 7.2 Thomson, W. T., 1981, Theory of Vibration with Applications
^ Han, S. M, Benaroya, H. and Wei, T., 1999, "Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories," Journal of Sound and Vibration , vol. 226, no. 5, pp. 935–988.
^ Rosinger, H. E. and Ritchie, I. G., 1977, On Timoshenko's correction for shear in vibrating isotropic beams, J. Phys. D: Appl. Phys., vol. 10, pp. 1461–1466.
![{\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b17ad3e37e2553884da6fcb9dffd7487039774e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b65d649cab51d29f4b0bb8e69a8bbccb9364b44)
![{\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c11a187caa54d9696a9077b73e9bcd49ea0962)
mode k = 0, p = 1
mode k = 0, p = 2
mode k = 1, p = 2
