简介
定义
令密度函数
f
(
x
)
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f({\bf {x}})=f(x,y)}
是一个的定义域为
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
的紧支撑 。令
R
{\displaystyle {\cal {R}}}
为拉东变换的运算子(operator),则
R
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\cal {R}}f(x,y)}
是一个定义在
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
空间中的直线
L
{\displaystyle L}
,它的定义如下
R
f
(
L
)
=
∫
L
f
(
x
)
|
d
x
|
{\displaystyle {\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|}
可以把直线
L
{\displaystyle L}
改写成一个弧长
z
{\displaystyle z}
的参数式
(
x
(
z
)
,
y
(
z
)
)
=
(
(
z
sin
α
+
s
cos
α
)
,
(
−
z
cos
α
+
s
sin
α
)
)
{\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}
s
{\displaystyle s}
是直线
L
{\displaystyle L}
和原点的距离,而
α
{\displaystyle \alpha }
是垂直于
L
{\displaystyle L}
的法线和
x
{\displaystyle x}
轴的夹角,
接下来,我们可以令
(
α
,
s
)
{\displaystyle (\alpha ,s)}
当作
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
平面上的新座标系统,把这个座标变换带入到拉东变换得到
R
f
(
α
,
s
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
(
z
)
,
y
(
z
)
)
d
z
=
∫
−
∞
∞
f
(
(
z
sin
α
+
s
cos
α
)
,
(
−
z
cos
α
+
s
sin
α
)
)
d
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}}
更进一步,我们可以把
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
推广到
R
n
{\displaystyle {\bf {R}}^{n}}
的欧几里得空间 ,对一个紧支撑 的连续函数
f
{\displaystyle f}
做拉东变换后的函数
R
f
{\displaystyle {\cal {R}}f}
是定义在
Σ
n
{\displaystyle \Sigma _{n}}
的超平面 上,
R
f
(
ξ
)
=
∫
ξ
f
(
x
)
d
σ
(
x
)
,
f
o
r
ξ
∈
Σ
n
{\displaystyle {\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \Sigma _{n}}
积分的对象是自然超平面测度(natural hypersurface measure),而
d
Δ
{\displaystyle d\Delta }
是原本的
|
d
x
|
{\displaystyle |d{\bf {x}}|}
的高维推广。可以观察到对
Σ
n
{\displaystyle \Sigma _{n}}
里的任意元素,
都是某个轨迹方程式的解
x
⋅
α
=
s
.
{\displaystyle {\bf {x}}\cdot \alpha =s.}
而
α
{\displaystyle \alpha }
是一个单位向量 且属于
S
n
−
1
{\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}}
,
s
∈
R
{\displaystyle s\in \mathbb {R} }
,n维的拉东变换可以改写成定义在
S
n
−
1
×
R
{\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}}
上的函数
R
f
(
α
,
s
)
=
∫
x
⋅
α
=
s
f
(
x
)
d
σ
(
x
)
{\displaystyle {\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )}
也可以借由其他方式将拉东变换推广,也就是对
R
n
{\displaystyle {\bf {R}}^{n}}
的k维仿射子空间作(k-dimensional affine subspaces)积分。
而这种推广拉东变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描 ,他的做法是对一条直线积分。
与傅立叶变换的关系
拉东变换和傅立叶变换之间有很强的关联性。单变数的傅立叶变换的定义是
f
^
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ω
d
x
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx}
而双变数
(
x
)
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle ({\bf {x}})=(x,y)}
的傅立叶变换是
f
^
(
w
)
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
⋅
w
d
x
d
y
{\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy}
把拉东变换的运算子的表记从
R
[
f
]
(
s
)
{\displaystyle {\cal {R}}[f](s)}
改成
R
[
f
]
(
α
,
s
)
{\displaystyle {\cal {R}}[f](\alpha ,s)}
。根据投影切片定理学说,
R
α
[
f
]
^
(
σ
)
=
f
^
(
σ
n
(
α
)
)
,
n
(
α
)
=
(
cos
α
,
sin
α
)
{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha )),\quad \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}
因此一个初始函数沿著一条线倾角
α
{\displaystyle \alpha }
的二维的傅立叶变换,相当于对拉东变换做一维的傅立叶变换。这个结果可以推广到n维
f
^
(
r
α
)
=
∫
−
∞
∞
R
f
(
α
,
s
)
e
−
2
π
i
s
r
d
s
{\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds}
对偶变换
对偶拉东变换是拉东变换的埃尔米特伴随 。令在空间
Σ
n
{\displaystyle \Sigma _{n}}
上的函数
g
{\displaystyle g}
,而对偶拉东变换的运算子定义为
R
∗
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}}
。作用在
g
{\displaystyle g}
上
R
∗
g
(
x
)
=
∫
x
∈
ξ
g
(
ξ
)
d
μ
(
ξ
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )}
积分的范围是所有和
x
∈
R
2
{\displaystyle x\in {\bf {R}}^{2}}
相交的超平面集合,而测度(measure)
d
μ
{\displaystyle d\mu }
是集合
ξ
|
x
∈
ξ
{\displaystyle \xi |x\in \xi }
特殊的机率测度(Probability measure),
当对著
x
{\displaystyle x}
旋转时,
d
μ
{\displaystyle d\mu }
的值不会改变
对于一个二维的拉东变换,其对偶变换是
R
∗
g
(
x
)
=
1
2
π
∫
α
=
0
2
π
g
(
α
,
n
(
α
)
⋅
x
)
d
α
{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha }
在影像处理的文章中,对偶变换经常被称作反向投影(back-projection) [ 2] ,因为它将平面中每条线上定义的函数 投影到该线上,从而生成图像。
交结性质
根据拉普拉斯算子
Δ
{\displaystyle \Delta }
在
R
n
{\displaystyle {\bf {R}}^{n}}
的定义是
Δ
=
∂
2
∂
x
1
2
+
⋯
+
∂
2
∂
x
n
2
{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}
这是一个旋转不变性 的二阶微分算子 ,在空间
Σ
n
{\displaystyle \Sigma _{n}}
,半径的二阶导数
L
f
(
α
,
s
)
≡
∂
2
∂
s
2
f
(
α
,
s
)
{\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}
也是旋转不变性 。
而拉东变换与其对偶变换属于交结运算子(intertwining operator),是因为
R
(
Δ
f
)
=
L
(
R
f
)
,
R
∗
(
L
g
)
=
Δ
(
R
∗
g
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)}
重建方法
重建处理 是指从投影影像重建一个影像,或是一个函数
f
{\displaystyle f}
。重建处理是一种逆问题 (inverse problem)。
拉东反变换公式
对于二维拉东变换,最常被使用的解析公式(analytical formula)
f
{\displaystyle f}
,是Filtered Backprojection Formula或拉东反变换公式,反变换公式为
f
(
x
)
=
∫
0
π
(
R
f
(
⋅
,
θ
)
∗
h
)
(
⟨
x
,
n
θ
⟩
)
d
θ
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta }
[ 3]
函数
h
{\displaystyle h}
满足
h
^
(
k
)
=
|
k
|
{\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}
[ 4] ,卷积核 (convolution kernel)
h
{\displaystyle h}
在一些文章中称作Ramp filter。
不适定问题 (ill-posedness)
直觉上,反变换公式应该和微分类似,
d
d
x
^
f
(
x
)
=
i
k
f
^
(
k
)
{\displaystyle {\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)}
。我们可以看的出来反变换公式
的行为类似微分。大致上来说,这个反变换公式把目标奇异化(singular);要如何量化拉东反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢?首先可以写出
R
∗
R
g
^
(
k
)
=
1
|
|
k
|
|
g
^
(
k
)
{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}
R
∗
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}}
即是前面定义的反变换运算子,且伴随著(adjoint to)拉东变换,因此
g
(
x
)
=
e
i
⟨
k
0
,
x
⟩
{\displaystyle g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}
,上式变成
R
∗
R
g
=
1
|
|
k
|
|
e
i
⟨
k
0
,
x
⟩
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}
复数指数函数
e
i
⟨
k
0
,
x
⟩
{\displaystyle e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}
,是
R
∗
R
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}}
的固有函数 (eigenfunction) ,
而特征值 (eigenvalue)为
1
|
|
k
|
|
{\displaystyle {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}
。
R
{\displaystyle {\cal {R}}}
的奇异值 (singular values) 是
1
|
|
k
|
|
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}}
,
因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0,所以
R
−
1
{\displaystyle {\cal {R}}^{-1}}
是无界的(unbounded) [ 4] 。
反变换公式
外显(explicit)且计算效率好的拉东反变换公式,以及他的对偶是存在的。n维的反拉东变换可以由[ 5]
c
n
f
=
(
−
Δ
)
(
n
−
1
)
/
2
R
∗
{
R
f
}
{\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}{\cal {R}}^{*}\{{\cal {R}}f\}}
其中
c
n
=
(
4
π
)
(
n
−
1
)
/
2
Γ
(
n
/
2
)
Γ
(
1
/
2
)
{\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}
而
Δ
{\displaystyle \Delta }
是拉普拉斯算子 (Laplacian),
(
−
Δ
)
(
n
−
1
)
/
2
{\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}
是伪微分算子 (pseudodifferential operator)
F
[
(
−
Δ
)
(
n
−
1
)
/
2
ϕ
]
(
ξ
)
=
|
2
π
ξ
|
n
−
1
F
ϕ
(
ξ
)
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left[(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}{\mathcal {F}}\phi (\xi ).}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是傅立叶变换 的运算子(operator)。
参见
注释
^ 存档副本 . [2017-06-29 ] . (原始内容存档 于2017-07-19).
^ Kak, Avinash C.; Slaney, Malcolm. Principles of Computerized Tomographic Imaging. Classics in applied mathematics. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2001. ISBN 978-0-89871-494-4 .
^ 存档副本 (PDF) . [2017-06-29 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2018-11-25).
^ 4.0 4.1 存档副本 (PDF) . [2017-06-29 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2018-11-25).
^ Helgason 1984 ,Theorem I.2.13
参考
Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons, 1983 .
Helgason, Sigurdur, Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs 39 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society , 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1 , MR 2463854 .
Helgason, Sigurdur , Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3 .
Herman, Gabor T. , Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections 2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2 .
Minlos, R.A., Radon transform , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics 32 , Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1
Natterer, Frank; Wübbeling, Frank, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9 .
Radon, Johann , Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] (Leipzig: Teubner), 1917, (69): 262–277 ; Translation: Radon, J.; Parks, P.C. (translator), On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, IEEE Transactions on Medical Imaging, 1986, 5 (4): 170–176, PMID 18244009 , doi:10.1109/TMI.1986.4307775 .
Roerdink, J.B.T.M., Tomography , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
埃里克·韦斯坦因 . 拉東變換 . MathWorld . .