狄利克雷函数

狄利克雷函数（英语：Dirichlet function）是一个判别自变量是有理数还是无理数的函数。定义在实数范围上、值域为 $\{0,1\}$ 的函数，用 $D(x)$ 或者 $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)$ 表示。这是一个典型的处处不连续函数。该函数以德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷的名字命名。

狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数，其图像关于 $y$ 轴成轴对称，是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分。

在数学领域，这是一个病态函数。作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限，并且以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数）。该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。

定义

在实数域上，狄利克雷函数 $D(x)$ 定义为

1. 自变量 $x$ 为有理数时，$D(x)=1$；
2. 自变量 $x$ 为无理数时，$D(x)=0$。

狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限：

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad D(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)$

其中 $k$ 和 $j$ 为整数。

性质

• 定义在整个数轴上。
• 无法画出图像。
• 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。
• 处处无极限、不连续、不可导。
• 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作为反例说明了对于黎曼积分，单调收敛定理不成立。
• 是偶函数。
• 它在 $[0,1]$ 上勒贝格可积。

证明

处处不连续

• 若 $y$ 为有理数则 $f(y)=1$。为证明函数在 $y$ 处不连续，问题转化为对任意 $\varepsilon$，无论 $\delta$ 多么小，在包含 $y$ 的长度为 $\delta$ 的区间内一点 $z$，$|f(z)-f(y)|\leq \varepsilon$。试取 $\varepsilon =1/2$，由于无理数为实数域上的稠密集，无论 $\delta$ 取何值，总有 $z$ 满足 $f(z)=0$，让 $|f(z)-f(y)|=1>\varepsilon =1/2$。

• 若 $y$ 为无理数，同理，因为有理数为实数域上的稠密集，无论 $\delta$ 取何值，总有 $z$ 满足 $f(z)=1$，让 $|f(z)-f(y)|=1>\varepsilon =1/2$。