玻尔模型

玻尔模型是丹麦物理学家尼尔斯·玻尔于1913年提出的关于原子结构的模型。此模型引入量子化的概念来研究原子内电子的运动，对于计算氢原子光谱的里德伯公式给出了理论解释。玻尔模型是20世纪初期物理学取得的重要成就，对原子物理学产生了深远的影响。

在玻尔模型里，被约束于原子壳层的带负价电子，绕著带正价原子核进行圆周运动。从一个轨道跃迁至另一个轨道会伴随著离散能量以电磁波的形式被发射或吸收。在图中，电子的轨道显示为灰色圆圈，其半径随著主量子数平方n²增加，从主量子数3 → 2的跃迁制成了巴耳末系的第一条谱线，波长为656 nm （红光）。

玻尔模型的提出

丹麦物理学家尼尔斯·玻尔（1885—1962）

20世纪初期，德国物理学家普朗克为解释黑体辐射现象，提出能量量子化假说，揭开了量子理论的序幕。1885年，瑞士数学教师巴耳末将氢原子的谱线表示成巴耳末公式。然而巴耳末公式是经验公式，直到玻尔在1913年提出玻尔模型为止，人们并不了解它们的物理含义。

1911年，英国物理学家卢瑟福根据1909年开始进行的α粒子散射实验，提出了原子的拉塞福模型。在这个模型里，原子的中心有一个带正电（Ze）、带质量的原子核，在原子核的四周是带负电的电子云；其中，Z是原子数，e是单位电荷。从拉塞福模型，拉塞福推导出散射公式，其预测与实验结果相符合。然而，在拉塞福散射实验里，主角是原子核，而电子并不重要，因此拉塞福不能空口无凭地给出电子的排列方式，也无法用这模型对于化学结合、元素列表、原子谱线给出解释。

1912年，正在英国曼彻斯特大学工作的玻尔将一份被后人称作《曼彻斯特备忘录》的草稿提交给他的导师卢瑟福。在这份直到玻尔过世后才被发布的草稿中，玻尔在拉塞福模型的基础上引入了普朗克的量子概念，玻尔提议，原子可以维持力学稳定性，前提是电子的动能$T$与电子环绕原子核的公转频率$\nu$，两者之间的关系式假定为

$T=k\nu$；

其中，$k$与普朗克常数有关。

注意到他并没有确切给出$k$的形式，也没有将辐射稳定性纳入考量，更没有理论证实他的假定可以达成力学稳定性。

1913年2月4日前后的某一天，玻尔与同事汉斯·汉森讨论他的研究，汉森提问：“这研究与谱线方程有甚么关系?”玻尔回答说他会去查阅这方面的资料。玻尔博览那时期的科学文献，而且巴耳末公式在科学文献里是常被引述的谱线方程，很可能他已看到过这公式，但并没有注意到这公式与自己研究有甚么的关联，而且已完全忘掉这公式。不论如何，他详细阅读了约翰内斯·斯塔克撰写的教科书（德文）有关谱线方面的内容，特别是关于巴耳末公式的描述，后来他回忆：“就在我看到巴耳末公式的那一瞬间，突然一切都变得清楚了。”3月7日，他写好一篇诠释巴耳末公式的论文，其开启了原子结构的量子理论。

1913年7月、9月、11月，《哲学杂志》接连刊载了玻尔的三篇论文，标志着玻尔模型正式提出。这三篇论文成为物理学史上的经典，被称为玻尔模型的“三部曲”。他在第一篇论文中利用玻尔模型分析了氢原子，在第二篇论文中论述了其它原子结构与周期表，在第三篇论文中探讨了分子结构。

玻尔模型的主要内容

玻尔模型的两个主要假设为，

• 在氢原子中，电子围绕着原子核进行圆周运动。
• 在轨道中运动的电子的角动量的大小 $L$ 被量子化为正整数乘以约化普朗克常数 $\hbar$。

轨道半径量子化

按照第一个假设，在氢原子中的电子，围绕著原子核做圆周运动，其轨道是经典轨道。电子做圆周运动的向心力是由电子和原子核之间的库仑力所提供：

$m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r^{2}}}$，

其中，$m_{e}$ 是电子质量，$v$ 是电子速率，$r$ 是电子轨道半径，$\varepsilon _{0}$ 是电常数，$e$ 是基本电荷。

所以，半径为

$r={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{e}v^{2}}}$，

另外，圆周运动的角动量大小是半径乘以动量：

$L=rm_{e}v$。

所以，按照第二个假设，速度为

$v=L/rm_{e}=n\hbar /rm_{e}$，

其中，$n$ 是主量子数，$\hbar$ 是约化普朗克常数。

将速度的表达式代入半径的表达式，可以得到新的半径的表达式

$r={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}n^{2}$。

这轨道半径表达式可以重写为

$r=an^{2}$；

其中，$a={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}\approx 5.29\times 10^{-11}m$ 是玻尔半径。

在氢原子的波尔模型里，以原子核为圆心的电子圆周运动的半径被量子化，最小的半径是玻尔半径。由于电子被禁止离原子核更近，库仑力无法将电子吸引到原子核里，电子也不会因为进行圆周运动的加速度而释出电磁波。

轨道能量量子化

电子绕著原子核的轨道能量 $E$ 是动能 $K$ 加势能 $V$ ：

$E=K+V={\frac {1}{2}}m_{e}v^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}=-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r}}$。

将轨道半径表达式代入轨道能量表达式，可以得到

$E=-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\ {\frac {1}{n^{2}}}\approx -{\frac {13.60eV}{n^{2}}}$。

在氢原子的波尔模型里，轨道能量被量子化，并与主量子数的平方成反比。这是束缚电子的能量。由于原子核被假设为固定不动，这能量也可以视为整个氢原子的能量。

跃迁能量变化

电子只能够稳定地存在于一系列的离散的能量状态之中，称为定态。假若电子的能量发生任何变化，都必须要在两个定态之间以跃迁的方式进行，所以电子只能处于一系列分立的定态。当电子从一个定态跃迁至另一个定态时，会以电磁波的形式放出或吸收能量：

$h\nu =\Delta E=E_{n'}-E_{n}$，

其中，$\nu$ 是电磁波的频率。

将轨道能量表达式代入这公式，可以得到

${\frac {1}{\lambda }}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n'^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)$。

将这表达式重写，可以得到里德伯公式：

${\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{n'^{2}}}\right)$。

其中，$R={\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}$ 是里德伯常数。

修正

英国光谱学家亚弗列德·福勒质疑：应用玻尔模型计算出里德伯常数的数值$R=109737.315\,\mathrm {cm} ^{-1}$；而实验值$R=109677.58\,\mathrm {cm} ^{-1}$，二者相差大约万分之五。1914年，玻尔提出，这是因为原来的模型假设原子核静止不动而引起的。实际情况是，原子核的质量不是无穷大，它与电子绕共同的质心转动。玻尔对其理论进行了修正，用原子核和电子的约化质量$\mu ={\frac {m_{e}M}{m_{e}+M}}$代替了电子质量。这样的话，不同原子的里德伯常数R_A不同，

$R_{A}={\frac {R}{1+m_{e}/M}}$

电子到质心的距离仍为原来理论中的第一轨道半径，与原子核的质量无关。

玻尔模型的实验验证

1897年，美国天文学家爱德华·皮克林在恒星弧矢增二十二的光谱中发现了一组独特的线系，称为皮克林线系。皮克林线系中有一些谱线靠近巴耳末线系，但又不完全重合，另外有一些谱线位于巴耳末线系两临近谱线之间。起初皮克林线系被认为是氢的谱线，然而玻尔提出皮克林线系是类氢离子He⁺发出的谱线。随后英国物理学家埃万斯在实验室中观察了He⁺的光谱，证实玻尔的判断完全正确。

和玻尔提出玻尔模型几乎同一时期，英国物理学家亨利·莫塞莱测定了多种元素的X射线标识谱线，发现它们具有确定的规律性，并得到了经验公式——莫塞莱定律。莫塞莱看到玻尔的论文，立刻发现这个经验公式可以由玻尔模型导出，为玻尔模型提供了有力的证据。

1914年，詹姆斯·弗兰克和古斯塔夫·赫兹进行了用电子轰击汞蒸汽的实验，即弗兰克-赫兹实验。实验结果显示，汞原子内确实存在能量为4.9eV的量子态。1920年代，弗兰克和赫兹又继续改进实验装置，发现了汞原子内部更多的量子态，有力地证实了玻尔模型的正确性。

1932年，哈罗德·尤里观察到了氢的同位素氘的光谱，测量到了氘的里德伯常数，和玻尔模型的预言符合得很好。

玻尔模型的推广

随着光谱实验水平的提高，人们发现了光谱具有精细结构。1896年，阿尔伯特·迈克耳孙和爱德华·莫雷观察到了氢光谱的H_α线是双线，随后又发现是三线。玻尔提出这可能是电子在椭圆轨道上做慢进动引起的。1916年索末菲在玻尔模型的基础上将圆轨道推广为椭圆形轨道，并且引入相对论修正，提出了索末菲模型。在考虑椭圆轨道和相对论修正后，索末菲计算出了H_α线的精细结构，与实验相符。然而进一步的研究发现，这样的解释纯属巧合。H_α线的精细结构有7条，必须彻底抛弃电子轨道的概念才能完全解释光谱的精细结构。

玻尔模型的问题

玻尔模型将经典力学的规律应用于微观的电子，不可避免地存在一系列问题。根据经典电动力学，做加速运动的电子会辐射出电磁波，致使能量不断损失，而玻尔模型无法解释为什么处于定态中的电子不发出电磁辐射。玻尔模型对跃迁的过程描写含糊。因此玻尔模型提出后并不被物理学界所欢迎，还遭到了包括卢瑟福、薛定谔在内的诸多物理学家的质疑。玻尔曾经的导师、剑桥大学的约瑟夫·汤姆孙拒绝对其发表评论。薛定谔甚至评价说是“糟透的跃迁”。

此外，玻尔模型无法揭示氢原子光谱的强度和精细结构，也无法解释稍微复杂一些的氦原子的光谱，以及更复杂原子的光谱。因此，玻尔在领取1922年诺贝尔物理学奖时称：“这一理论还是十分初步的，许多基本问题还有待解决。”

玻尔模型引入了量子化的条件，但它仍然是一个“半经典半量子”的模型。完全解决原子光谱的问题必须彻底抛弃经典的轨道概念。尽管玻尔模型遇到了诸多困难，然而它显示出量子假说的生命力，为经典物理学向量子物理学发展铺平了道路。

参阅

• 尼尔斯·玻尔
• 里德伯公式
• 惰性电子对效应可以用玻尔模型解释。
• 原子轨域