皮尔森卡方检定

皮尔森卡方检定（英语：Pearson's chi-squared test）是最有名卡方检定之一（其他常用的卡方检定还有叶氏连续校正、似然比检定、一元混成检验等等－－它们的统计值之机率分配都近似于卡方分配，故称卡方检定）。“皮尔森卡方检定”最早由卡尔·皮尔森在1900年发表， 用于类别变数的检定。科学文献中，当提及卡方检定而没有特别指明类型时，通常即指皮尔森卡方检定。

原假设

“皮尔森卡方检定”的虚无假设（H₀）是：一个样本中已发生事件的次数分配会遵守某个特定的理论分配。

在虚无假设的句子中，“事件”必须互斥，并且所有事件总机率等于1。或者说，每个事件是类别变数（英语：categorical variable）的一种类别或级别（英语：level）。

简单的例子：常见的六面骰子，事件＝丢骰子的结果（可能是1~6任一个）属于类别变数，每一面都是此变数的一种（一个级别）结果，每种结果互斥（1不是2, 3, 4, 5, 6; 2不是1, 3, 4 ...），六面的机率总和等于1。

用途和步骤

“皮尔森卡方检定”可用于三种情境的变项比较：拟合度检验、同质性检验和独立性检定。

• “适配度检定”验证一组观察值的次数分配是否异于理论上的分配。
• “同质性检验”可以比较在使用相同的分类变量时，两组或两组以上群体的计数分布。
• “独立性检定”验证从两个变数抽出的配对观察值组是否互相独立（例如：每次都从A国和B国各抽一个人，看他们的反应是否与国籍无关）。

不管哪个检定都包含三个步骤：

1. 计算卡方检定的统计值“ $\chi ^{2}$ ”：把每一个观察值和理论值的差做平方后、除以理论值、再加总。
2. 计算 $\chi ^{2}$ 统计值的自由度“$df$”。
3. 依据研究者设定的置信水平（显著性水平、P值或对应Alpha值），查出自由度为 $df$ 的卡方分配临界值，比较它与第1步骤得出的 $\chi ^{2}$ 统计值，推论能否拒绝虚无假说。

适合度检定

适配度检定（英语：Goodness of Fit test）：测试样本的机率分配与母体有多相似。

母体假设为离散型均匀分配

当理论上的母体分配为每个类别机率一致时，即应适用离散型均匀分配的计算方法。 $N$ 个观察值于理论上应均匀分配在所有的 $m$ 个栏位（类别）中，因此每个栏位（类别）的“理论次数”（或期望次数）为：

$E_{i}={\frac {N}{m}}$，其中 $i=1,2,...,m$

自由度 $df=m-1$ 。“$m$”是总共要计算离差平方的个数（每个类别计算一次观察值与理论值的差，再平方）。“$-1$”是因为对于计算$\chi ^{2}$而言只有一个限制条件：观察值的个数总和为 $N$。

独立性检定

在同一个个体（例如：同一个人）身上有两个二元变数（X, Y），例如 X（男／女）和 Y（右撇子／左撇子），观察两个变数的相关性。虚无假设是：两个变数呈统计独立性。在本例中：性别与惯用手是独立事件。

• 首先，每个观察值（每个抽出的人）会被重新编排到一个叫做“列联表”（英语：contingency table，又称：条件次数表）的二维表格里。本例的列联表是2×2的构造（不算入Total栏位）：

	男	女	总计
右	43	44	87
左	9	4	13
总计	52	48	100

• 如果列联表共有 r 行 c 列，那么在独立事件的假设下，每个栏位的“理论次数”（或期望次数）为：

$E_{i,j}={\frac {\left(\sum _{n_{c}=1}^{c}O_{i,n_{c}}\right)\cdot \left(\sum _{n_{r}=1}^{r}O_{n_{r},j}\right)}{N}}$，

其中 N 是样本大小（观察值的个数，亦即2×2列联表所有栏位的总和，本例：N = 100）。本例的各栏位期望值如下（括号里的数字）：

	男	女	总计
右	43 (45.24)	44 (41.76)	87
左	9 (6.76)	4 (6.24)	13
总计	52	48	100

• $\chi ^{2}$统计值的公式是：

$\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{c}{(O_{i,j}-E_{i,j})^{2} \over E_{i,j}}.$

本例的$\chi ^{2}$统计值是：

$\chi ^{2}=(43-45.24)^{2}/45.24+(44-41.76)^{2}/41.76+(9-6.76)^{2}/6.76+(4-6.24)^{2}/6.24=1.777$

• 自由度 $df=(r-1)(c-1)$ 是这样得出：虽然总共要计算 $rc$ 个离差平方（每个栏位计算一次观察值与理论值的差，再平方），但 X 变数有1个限制条件（样本抽出后，男性的人数即固定），Y 变数也有1个限制条件（样本抽出后，右撇子的人数即固定），所以可自由变动的栏位数只有 $(r-1)(c-1)$。

在本例中$df=(2-1)\times (2-1)=1$。

• 在$\chi ^{2}=1.777,df=1$ 的条件下，得出卡方分配右尾机率$p=0.1825$ ，无法拒绝虚无假设，亦即：无法拒绝性别变数与惯用手变数互相独立的假设。

限制

1. 如果个别栏位的期望次数太低，会使机率分配无法近似于卡方分配。一般要求：自由度 $df>1$时，期望次数小于5的栏位不多于总栏位的20%。
2. 若自由度 $df=1$，且若期望次数 $<10$ ，则近似于卡方分配的假设不可信。此时可以将每个观察值的离差减去 $0.5$ 之后再做平方，这便是叶慈连续校正。

参考文献

引用

• 卡方分配与卡方检定 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

期刊文章

• Herman Chernoff, E. L. Lehmann. The Use of Maximum Likelihood Estimates in $\chi^2$ Tests for Goodness of Fit. The Annals of Mathematical Statistics. 1954-09, 25 (3): 579–586 [2018-04-02]. ISSN 0003-4851. doi:10.1214/aoms/1177728726. （原始内容存档于2021-02-26） （英语）. 
• R. L. Plackett. Karl Pearson and the Chi-Squared Test. International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique. 1983, 51 (1): 59–72 [2018-04-02]. doi:10.2307/1402731. （原始内容存档于2021-04-16）. 

书籍

• Nikulin, Priscilla E. Greenwood ; Mikhail S. A guide to chi-squared testing. New York, NY [u.a.]: Wiley. 1996. ISBN 047155779X.