笛卡儿叶形线

笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出。笛卡儿叶形线的隐式方程为：

a=1

$x^{3}+y^{3}-3axy=0.\,$

在极坐标中的方程为：

$r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}.$

这个名字来自 拉丁文 的 folium ，意思是 "leaf"（叶子）。

曲线的特征

切线的方程

利用隐函数的求导法则，我们可以求出y'：

${\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}.$

利用直线的点斜式方程，我们可以求出点$(x_{1},y_{1})$处的切线方程：

$y-y_{1}={\frac {ay_{1}-x_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-ax_{1}}}(x-x_{1}).$

水平和竖直切线

当$ay-x^{2}=0$时，笛卡儿叶形线的切线是水平的。所以：

$x=a{\sqrt[{3}]{2}}.$

当$y^{2}-ax=0$时，笛卡儿叶形线的切线是竖直的。所以：

$y=a{\sqrt[{3}]{2}}.$

这可以通过曲线的对称来解释。我们可以看到，曲线有两条水平切线和两条竖直切线。笛卡儿叶形线关于$y=x$对称，所以如果水平切线有坐标$(x_{1},y_{1})$的话，则一定有一个对应的竖直切线，坐标为$(y_{1},x_{1})$。

渐近线

曲线有一条渐近线：

$x+y+a=0.$

这个渐近线的斜率是-1，x截矩和y截矩都是-a。

参考文献

• Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.
• Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 77-82, 1997.
• Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 106-109, 1972.
• MacTutor History of Mathematics Archive. "Folium of Descartes." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Foliumd.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Stroeker, R. J. "Brocard Points, Circulant Matrices, and Descartes' Folium." Math. Mag. 61, 172-187, 1988.
• Yates, R. C. "Folium of Descartes." In A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 98-99, 1952.