线性系统

线性系统是一数学模型，是指用线性运算子组成的系统^[1]。相较于非线性系统，线性系统的特性比较简单。例如以下的系统即为一线性系统：

{\frac {d^{2}{y}}{dx^{2}}}+y=3x

由于线性系统较容易处理，许多时候会将系统理想化或简化为线性系统。线性系统常应用在自动控制理论、信号处理及电信上。像无线通讯讯号在介质中的传播就可以用线性系统来模拟。

线性系统需满足线性的特性，若线性系统还满足非时变性（即系统的输入信号若延迟τ秒，那么得到的输出除了这τ秒延时以外是完全相同的），则称为线性时不变系统。

线性系统的特性

若将一决定性系统视为黑箱系统，可以用一个将输入 $x(t)$ 映射到输出 $y(t)$ 的运算子 $H$ 来表示。一线性系统的运算子满足叠加原理及齐次性（homogeneity）。假设有以下二个输入

x_{1}(t)\,

x_{2}(t)\,

及其对应的输出

y_{1}(t)=H\left\{x_{1}(t)\right\}

y_{2}(t)=H\left\{x_{2}(t)\right\}

则线性系统会满足以下的特性

\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}

其中 $\alpha \,$ 及 $\beta \,$ 为任意纯量。

因此，若线性系统有一个复杂的输入，可将输入分解为许多较简单输入的和，针对简单输入个别计算输出，其输出相加，就是系统对应复杂输入的输出。这是非线性系统没有的特性，上述的数学特性也使得线性系统的解比非线性系统的解要来的简单许多。

对于线性时不变系统，叠加原理也是脉冲响应或频率响应等分析方式的基础。若是连续、线性时不变系统的微分方程，可以利用拉普拉斯转换来求解；而离散系统中，可以利用Z转换来求解。

线性模式常在非线性系统的线性化时使用，以便于后续的数学运算或处理。

一线性系统的时变脉冲响应 h(t₂,t₁)定义为系统对于在t = t₁ 时间的单一脉冲，在t = t₂ 时间的响应。若系统的输入为

x(t)=\delta (t-t_{1})\,

其中 δ(t) 表示狄拉克δ函数，而其对应的系统输出为

y(t)|_{t=t_{2}}=h(t_{2},t_{1})\,

则函数h(t₂,t₁)则为系统的时变脉冲响应。

任何连续时间系统的输出都可以表示为输入信号和时变脉冲响应的时变卷积（convolution integral）：

y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,s)x(s)ds

也可以用以下的式子表示：

y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t-\tau )x(t-\tau )d\tau

其中

\tau =t-s\,

表示输入的时间s和响应的时间t之间的时间差。

任何离散时间系统的输出都可以表示为输入信号和时变脉冲响应的时变卷和（convolution sum）：

y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n,k]x[k]}

也可以用以下的式子表示：

y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,n-m]x[n-m]}

其中

m=n-k\,

表示输入的时间k和响应的时间n之间的时间差。

一个线性系统满足因果性是指满足以下特性的系统：只要时间t在输入时间s之前，其脉脉冲响应 $h(t,s)$ 均为零，也就是以下的式子一定会成立：

若

t<s

, 则

h(t,s)=0

表示在时间s时的脉冲其响应只会在时间s之后出现，在时间s之前脉冲响应为零。

一个满足因果性的系统称为因果系统。在因果系统中，时间s时的输入信号只会影响时间s之后的输出信号，不会影响时间s之前的输出信号。