辛普森悖论

辛普森悖论（英语：Simpson's paradox），是概率和统计中的一种现象，其中趋势出现在几组数据中，但当这些组被合并后趋势消失或反转。这个结果在社会科学和医学科学统计中经常遇到^[1]^[2]^[3]，当频率数据被不恰当地给出因果解释时尤其成问题^[4]。当干扰变量和因果关系在统计建模中得到适当处理时，这个悖论就可以得到解决^[4]^[5]。辛普森悖论已被用来说明统计误用可能产生的误导性结果^[6]^[7]。

该现象于20世纪初就有人讨论，但一直到1951年，爱德华·H·辛普森在他发表的论文中阐述此一现象后，该现象才算正式被描述解释。后来就以他的名字命名此悖论，即辛普森悖论。此悖论的最终原因和选择偏差（英语：selection bias）、幸存者偏差、以及柏克森悖论（英语：Berkson's paradox）一样，是源自对撞因子（存疑！应为混淆变量(confounder)）。

举例

一所美国高校的两个学院，分别是法学院和商学院。新学期招生，人们怀疑这两个学院有性别歧视。现作如下统计：

法学院

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	8	45	53	15.1%
女生	51	101	152	33.6%
合计	59	146	205

商学院

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	201	50	251	80.1%
女生	92	9	101	91.1%
合计	293	59	352

根据上面两个表格来看，女生在两个学院都被优先录取，即女生的录取比率较高。现在将两学院的数据汇总：

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	209	95	304	68.8%
女生	143	110	253	56.5%
合计	352	205	557

在总评中，女生的录取比率反而比男生低。

女生单独两个矢量斜率都比男生大，说明它们的比率都比较高。但最后男生总体向量斜率却大于女生

借助一幅向量图可以更好的了解情况（右图）

这个例子说明，简单的将分组数据相加汇总，是不能反映真实情况的。

就上述例子说，导致辛普森悖论有两个前提。

两个分组的录取率相差很大，就是说法学院录取率很低，而商学院却很高。而同时两种性别的申请者分布比重相反。女性申请者的大部分分布在法学院，相反，男性申请者大部分分布于商学院。结果在数量上来说，拒收率高的法学院拒收了很多的女生，男生虽然有更高的拒收率，但被拒收的数量却相对不算多。而录取率很高的商学院录取了很多男生，使得最后汇总的时候，男生在数量上反而占优。
有潜在因素影响着录取情况。就是说，性别并非是录取率高低的唯一因素，甚至可能是毫无影响的。至于在学院中出现的比率差，可能是随机事件。又或者是其他因素作用，比如入学成绩，却刚好出现这种录取比例，使人误认为这是由性别差异而造成的。

为了避免辛普森悖论的出现，就需要斟酌各分组的权重，并乘以一定的系数去消除以分组数据基数差异而造成的影响。同时，我们必需清楚了解情况，以综合考虑是否存在造成此悖论的潜在因素。

参考文献

Skript zur Statistik in der Naturwissenschaften(Gerhard Osius, Universität Bremen)

^ Clifford H. Wagner. Simpson's Paradox in Real Life. The American Statistician. February 1982, 36 (1): 46–48. JSTOR 2684093. doi:10.2307/2684093.
^ Holt, G. B. (2016). Potential Simpson's paradox in multicenter study of intraperitoneal chemotherapy for ovarian cancer. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Journal of Clinical Oncology, 34(9), 1016–1016.
^ Franks, Alexander; Airoldi, Edoardo; Slavov, Nikolai. Post-transcriptional regulation across human tissues. PLOS Computational Biology. 2017, 13 (5): e1005535. Bibcode:2017PLSCB..13E5535F. ISSN 1553-7358. PMC 5440056  . PMID 28481885. arXiv:1506.00219  . doi:10.1371/journal.pcbi.1005535.
^ ^4.0 ^4.1 Judea Pearl. Causality: Models, Reasoning, and Inference, Cambridge University Press (2000, 2nd edition 2009). ISBN 0-521-77362-8.
^ Kock, N., & Gaskins, L. (2016). Simpson's paradox, moderation and the emergence of quadratic relationships in path models: An information systems illustration. （页面存档备份，存于互联网档案馆） International Journal of Applied Nonlinear Science, 2(3), 200–234.
^ Robert L. Wardrop (February 1995). "Simpson's Paradox and the Hot Hand in Basketball". The American Statistician, 49 (1): pp. 24–28.
^ Alan Agresti (2002). "Categorical Data Analysis" (Second edition). John Wiley and Sons ISBN 0-471-36093-7

[1] Clifford H. Wagner. Simpson's Paradox in Real Life. The American Statistician. February 1982, 36 (1): 46–48. JSTOR 2684093. doi:10.2307/2684093.

[2] Holt, G. B. (2016). Potential Simpson's paradox in multicenter study of intraperitoneal chemotherapy for ovarian cancer. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Journal of Clinical Oncology, 34(9), 1016–1016.

[VogelFranks2017-3] Franks, Alexander; Airoldi, Edoardo; Slavov, Nikolai. Post-transcriptional regulation across human tissues. PLOS Computational Biology. 2017, 13 (5): e1005535. Bibcode:2017PLSCB..13E5535F. ISSN 1553-7358. PMC 5440056  . PMID 28481885. arXiv:1506.00219  . doi:10.1371/journal.pcbi.1005535.

[pearl-4] 4.0 ^4.1 Judea Pearl. Causality: Models, Reasoning, and Inference, Cambridge University Press (2000, 2nd edition 2009). ISBN 0-521-77362-8.

[5] Kock, N., & Gaskins, L. (2016). Simpson's paradox, moderation and the emergence of quadratic relationships in path models: An information systems illustration. （页面存档备份，存于互联网档案馆） International Journal of Applied Nonlinear Science, 2(3), 200–234.

[6] Robert L. Wardrop (February 1995). "Simpson's Paradox and the Hot Hand in Basketball". The American Statistician, 49 (1): pp. 24–28.

[7] Alan Agresti (2002). "Categorical Data Analysis" (Second edition). John Wiley and Sons ISBN 0-471-36093-7

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