重对数律

在概率论中，重对数律(LIL)用来描述一个随机游走的振幅。其最早为Aleksandr Y. Khinchin在1924年所叙述^[1]；之后Andrey N. Kolmogorov在1929年给出了另一个叙述^[2]。由于定理中出现了二重对数，故名。

内容

令 $\{Y_{n}\}$ 是一列独立同分布的随机变量，其期望为0，方差为1；且记 $S_{n}=Y_{1}+\ldots +Y_{n}$ ，那么：

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {2n\log \log n}}}=1,\qquad {\text{a.s.}},$

其中“log”是自然对数，“lim sup”是上极限，“a.s.”是“几乎必然”^[3]。

^ A. Khinchine. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Fundamenta Mathematica, 6:9-20, 1924. (The author's name is shown here in an alternate transliteration.)
^ A. Kolmogoroff. "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus" （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Mathematische Annalen, 101:126-135, 1929. (At the Göttinger DigitalisierungsZentrum web site （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
^ Leo Breiman. Probability. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (See Sections 3.9, 12.9, and 12.10; Theorem 3.52 specifically.)