阿达马变换 （Hadamard transform ），或称沃尔什-阿达玛转换 ，是一种广义傅立叶变换 （Fourier transforms），作为变换编码 的一种在影片编码当中使用有很久的历史。在近来的影片编码标准中，阿达马变换多被用来计算SATD(一种影片残差 信号大小的衡量)。
在数字信号处理 大型积体电路演算法的领域中，阿达马变换是一种简单且重要的演算法 之一，主要能针对频谱 做快速的分析。
在H.264 中使用了4阶和8阶的阿达马变换来计算SATD ，其变换矩阵为：
H
4
=
[
1
1
1
1
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
]
{\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}
H
8
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
]
{\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{bmatrix}}}
当计算4x4块
[
L
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{4}\end{bmatrix}}}
[
L
4
′
]
=
[
H
4
]
×
[
L
4
]
×
[
H
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{4}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{4}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}L_{4}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}H_{4}\end{bmatrix}}}
然后计算
[
L
4
′
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{4}'\end{bmatrix}}}
绝对值 之和并归一化 。
[
L
8
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{8}\end{bmatrix}}}
[
L
8
′
]
=
[
H
8
]
×
[
L
8
]
×
[
H
8
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{8}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{8}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}L_{8}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}H_{8}\end{bmatrix}}}
然后计算
[
L
8
′
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{8}'\end{bmatrix}}}
绝对值 之和并归一化 。
阿达马变换转换主要型式为
2
k
{\displaystyle {\boldsymbol {2^{k}}}}
矩阵 ，其最小单位矩阵 为 2x2 的阿达马变换矩阵，以下分别为二点、四点与如何产生
2
k
{\displaystyle {\boldsymbol {2^{k}}}}
W
2
=
[
1
1
1
−
1
]
{\displaystyle {\boldsymbol {W_{2}}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}
W
4
=
[
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
]
{\displaystyle {\boldsymbol {W_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{bmatrix}}}
产生
2
k
{\displaystyle {\boldsymbol {2^{k}}}}
步骤一：
V
2
k
+
1
=
[
W
2
k
W
2
k
W
2
k
−
W
2
k
]
{\displaystyle {\boldsymbol {V_{2^{k+1}}}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {W_{2^{k}}}}&{\boldsymbol {W_{2^{k}}}}\\{\boldsymbol {W_{2^{k}}}}&{\boldsymbol {-W_{2^{k}}}}\end{bmatrix}}}
矩阵 (Matrix) 内的列向量做顺序上的重新排列。
V
2
k
+
1
⟶
W
2
k
+
1
{\displaystyle {\boldsymbol {V_{2^{k+1}}}}\longrightarrow {\boldsymbol {W_{2^{k+1}}}}}
V
4
=
[
W
2
W
2
W
2
−
W
2
]
=
[
1
1
1
1
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
]
,
W
4
=
[
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
]
.
{\displaystyle {\boldsymbol {V_{4}}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {W_{2}}}&{\boldsymbol {W_{2}}}\\{\boldsymbol {W_{2}}}&{\boldsymbol {-W_{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {W_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.}
V
8
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
]
,
W
8
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
]
.
{\displaystyle {\boldsymbol {V_{8}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {W_{8}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.}
∑
n
=
0
N
−
1
W
[
h
,
n
]
W
[
m
,
n
]
=
0
,
i
f
h
≠
m
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}W\left[{h,n}\right]W\left[{m,n}\right]=0,\quad \mathrm {if} \,h\neq m.}
其表示 Walsh-Hadamard 转换矩阵 中，不同的列向量 (Row verctor) 做内积 (Inner product) 为零。
可简单从 Walsh-Hadamard 转换矩阵 中发现，其奇数列向量 呈现左右两边偶对称 (Even symmetric)。反之，其偶数列向量 呈现左右两边奇对称 (Odd symmetric)。
若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
a
n
d
g
[
n
]
⇒
G
[
m
]
,
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right]\,and\,\,g\left[{n}\right]\Rightarrow G\left[{m}\right],}
则
a
f
[
n
]
+
b
g
[
n
]
⇒
a
F
[
m
]
+
b
G
[
m
]
.
{\displaystyle a\,f\left[{n}\right]+b\,g\left[{n}\right]\Rightarrow a\,F\left[{m}\right]+b\,G\left[{m}\right].}
W
[
m
,
n
]
⋅
W
[
l
,
n
]
=
W
[
m
⊕
l
,
n
]
.
{\displaystyle W\left[{m,n}\right]\cdot W\left[{l,n}\right]=W\left[{m\oplus l,n}\right].}
范例：
0
⊕
0
=
0
,
0
⊕
1
=
1
,
1
⊕
0
=
1
,
1
⊕
1
=
0
,
{\displaystyle 0\oplus 0=0,\quad 0\oplus 1=1,\quad 1\oplus 0=1,\quad 1\oplus 1=0,}
其运算方式为布林代数 内的 XOR 逻辑闸。
δ
[
n
]
⇒
1
,
1
⇒
N
⋅
δ
[
n
]
.
{\displaystyle \delta \left[{n}\right]\Rightarrow 1,\quad 1\Rightarrow N\cdot \delta \left[{n}\right].}
其中，
δ
[
n
]
=
{
1
,
w
h
e
n
n
=
0
0
,
w
h
e
n
n
≠
0
.
{\displaystyle \delta \left[{n}\right]={\begin{cases}\,1,\quad \mathrm {when} \;n=0\\\,0,\quad \mathrm {when} \;n\neq 0\end{cases}}.}
若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
,
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right],}
则
f
[
n
⊕
k
]
⇒
W
[
k
,
m
]
F
[
m
]
.
{\displaystyle f\left[{n\oplus k}\right]\Rightarrow W\left[{k,m}\right]F\left[{m}\right].}
若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
,
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right],}
则
W
[
k
,
n
]
f
[
n
]
⇒
F
[
m
⊕
k
]
.
{\displaystyle W\left[{k,n}\right]f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m\oplus k}\right].}
若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
,
∑
n
=
0
N
−
1
|
f
[
n
]
|
2
=
(
1
N
)
∑
n
=
0
N
−
1
|
F
[
m
]
|
2
.
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right],\quad \sum _{n=0}^{N-1}\left|f\left[n\right]\right|^{2}=\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}\left|F\left[m\right]\right|^{2}.}
若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
a
n
d
g
[
n
]
⇒
G
[
m
]
,
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right]\,and\,\,g\left[{n}\right]\Rightarrow G\left[{m}\right],}
则
∑
n
=
0
N
−
1
f
[
n
]
g
[
n
]
=
(
1
N
)
∑
n
=
0
N
−
1
F
[
m
]
G
[
m
]
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}f\left[n\right]g\left[n\right]=\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}F\left[m\right]G\left[m\right].}
折积 性质若
f
[
n
]
⇒
F
[
m
]
a
n
d
g
[
n
]
⇒
G
[
m
]
,
{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right]\,and\,\,g\left[{n}\right]\Rightarrow G\left[{m}\right],}
则
h
[
n
]
=
f
[
n
]
⋆
g
[
n
]
⇒
H
[
m
]
=
F
[
m
]
G
[
m
]
,
{\displaystyle h\left[{n}\right]=f\left[{n}\right]\star g\left[{n}\right]\Rightarrow H\left[{m}\right]=F\left[{m}\right]G\left[{m}\right],}
其中
⋆
{\displaystyle \star }
逻辑折积 (Logical convolution)。
仅需实数 运算 (Real operation) 。
不需乘法 运算 (No multiplication) ，仅有加减法运算。
有部分性质类似于离散傅立叶变换 (Discrete fourier transform) 。
顺向转换 (Forward transform) 与反向转换 (Inverse transform ) 型式为相似式。
{
F
[
m
]
=
∑
n
=
0
N
−
1
W
[
m
,
n
]
f
[
n
]
(
Forward Type
)
f
[
n
]
=
(
1
N
)
∑
n
=
0
N
−
1
W
[
m
,
n
]
F
[
m
]
(
Inverse Type
)
,
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}F\left[m\right]&=&\sum _{n=0}^{N-1}W\left[{m,n}\right]f\left[n\right]&&({\mbox{Forward Type}})\\f\left[n\right]&=&\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}W\left[{m,n}\right]F\left[m\right]&&({\mbox{Inverse Type}})\end{matrix}}\end{cases}},}
其中
F
[
n
]
{\displaystyle F\left[n\right]}
f
[
n
]
{\displaystyle f\left[n\right]}
行向量 (Column vector) 。
阿达马变换转换主要为一种非常适合应用于频域分析 (Spectrum analysis) ，去执行快速之分析。可惜的是对于折积 性质是一种逻辑折积 ，与离散傅立叶变换 上之折积 性质截然不同。因此，较折积 上无法取代离散傅立叶变换 。
主要应用范围：
带宽降低 (Bandwidth reduction) 。CDMA (Code division multiple access)。其主要是一种调变 (modulation) 与解调 (Demodultion) 之技术。
资讯编码 (Information coding)。特征识别 (Feature extraction)。心电图分析 (ECG signal analysis in medical signal processing)。Hadamard 频谱量测 (Hadamard spectrometer)。避免量化误差 (Avoiding quantization error)。由于阿达马变换转换输入输出皆为整数 ，因此不会有量化误差的问题。
广义来说，其实阿达马变换转换是 Jacket 转换中的一项特例情况，其将
w
=
±
2
0
=
1
{\displaystyle w=\pm 2^{0}=1}
以下为四点的 Jacket 转换：
J
4
=
[
1
1
1
1
1
−
w
w
−
1
1
w
−
w
1
1
−
1
−
1
1
]
,
w
h
e
r
e
w
=
±
2
k
.
{\displaystyle {\boldsymbol {J_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-w&w&-1\\1&w&-w&1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}},\quad where\ w=\pm 2^{k}.}
2
k
+
1
{\displaystyle {\boldsymbol {2^{k+1}}}}
J
2
k
+
1
=
[
J
2
k
J
2
k
J
2
k
−
J
2
k
]
.
{\displaystyle {\boldsymbol {J_{2^{k+1}}}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {J_{2^{k}}}}&{\boldsymbol {J_{2^{k}}}}\\{\boldsymbol {J_{2^{k}}}}&-{\boldsymbol {J_{2^{k}}}}\end{bmatrix}}.}
Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008.
H. F. Harmuth,“Transmission of information by orthogonal functions,”1970.
Moon-Hu. Lee,“A new reverse Jacket transform and its fast algorithm,”IEEE Trans. Circuits Syst.-II, vol. 47, pp.39-46, 2000.
K.G.Beauchamp, "Walsh Functions and Their Applications," Academic Press,1975.
H. F. Harmuth, "Transmission of Information by Orthogonal Functions," Springer, 1969. 
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}W\left[{h,n}\right]W\left[{m,n}\right]=0,\quad \mathrm {if} \,h\neq m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765873f866f1e7c793e9da2c08108b4fc89e27fb)
![{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right]\,and\,\,g\left[{n}\right]\Rightarrow G\left[{m}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c7e1ebbb06f0b753415ede62f7bb1e12ebb25c)
![{\displaystyle a\,f\left[{n}\right]+b\,g\left[{n}\right]\Rightarrow a\,F\left[{m}\right]+b\,G\left[{m}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ce6759c59f1d0740e98193b1d1c7c2cfc43546)
![{\displaystyle W\left[{m,n}\right]\cdot W\left[{l,n}\right]=W\left[{m\oplus l,n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40b913af77bad0881aac76871fa0ea53d01caf6)
![{\displaystyle \delta \left[{n}\right]\Rightarrow 1,\quad 1\Rightarrow N\cdot \delta \left[{n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7370625ad3e1810291f73b3b4810b1aa27844fa3)
![{\displaystyle \delta \left[{n}\right]={\begin{cases}\,1,\quad \mathrm {when} \;n=0\\\,0,\quad \mathrm {when} \;n\neq 0\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e41446486188474a4e483bf116aced377c73c2)
![{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7076898281100e47eea809d89baf9aea8c8483)
![{\displaystyle f\left[{n\oplus k}\right]\Rightarrow W\left[{k,m}\right]F\left[{m}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8503a1648acc1759bb2a887f349bcdd156a82350)
![{\displaystyle W\left[{k,n}\right]f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m\oplus k}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c10ada4755f3571714ac195c4d40efb1f7de223)
![{\displaystyle f\left[{n}\right]\Rightarrow F\left[{m}\right],\quad \sum _{n=0}^{N-1}\left|f\left[n\right]\right|^{2}=\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}\left|F\left[m\right]\right|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9aa70c43cd8bb1a08049cf1e271f80d5674f479)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}f\left[n\right]g\left[n\right]=\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}F\left[m\right]G\left[m\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b2d76614c224ade392ad835742299630494eb6)
![{\displaystyle h\left[{n}\right]=f\left[{n}\right]\star g\left[{n}\right]\Rightarrow H\left[{m}\right]=F\left[{m}\right]G\left[{m}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06840dd8c8a02b22ee53a6387a04931fcd59b90c)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}F\left[m\right]&=&\sum _{n=0}^{N-1}W\left[{m,n}\right]f\left[n\right]&&({\mbox{Forward Type}})\\f\left[n\right]&=&\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}W\left[{m,n}\right]F\left[m\right]&&({\mbox{Inverse Type}})\end{matrix}}\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69709e04d9441f164c64a93b24a1e3e26970cf6d)
![{\displaystyle F\left[n\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c534070a7e2d1a46f055cfbc58a9f808ba3d38)
![{\displaystyle f\left[n\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c3e9c2417b00e22f866b1db79e8eb986d7dd32)
