早在12世纪，印度学者就已有使用阶乘的概念来计算排列数的纪录[ 3] Change ringing [ 5]
Now the nature of these methods is such, that the changes on one number comprehends [includes] the changes on all lesser numbers ... insomuch that a compleat Peal of changes on one number seemeth to be formed by uniting of the compleat Peals on all lesser numbers into one entire body.[ 6]
而符号n !克里斯蒂安·克兰普 在1808年使用[ 8]
部分的阶乘值（OEIS 数列A000142 ）
n n !
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
7003504000000000000♠ 5040
8
7004403200000000000♠ 40320
9
7005362880000000000♠ 362880
10
7006362880000000000♠ 3628 800
11
7007399168000000000♠ 39916 800
12
7008479001600000000♠ 479001 600
13
7009622702080000000♠ 6227 020 800
14
7010871782912000000♠ 87178 291 200
15
7012130767436800000♠ 1307 674 368 000
16
7013209227898880000♠ 20922 789 888 000
17
7014355687428096000♠ 355687 428 096 000
18
7015640237370572800♠ 6402 373 705 728 000
19
7017121645100408832♠ 121645 100 408 832 000
20
7018243290200817664♠ 2432 902 008 176 640 000
25
7025155112100433310♠ 1.551121 004 3331 × 1025
50
7064304140932017130♠ 3.041409 320 1713 × 1064
70
7100119785716699700♠ 1.197857 166 997 × 10100
100
7157933262154400000♠ 9.332621 544 × 10157
450
9000000000000000000♠ 1.733368 733 × 101000
7003100000000000000♠ 1000 9000000000000000000♠ 4.023872 601 × 102567
7003324900000000000♠ 3249 9000000000000000000♠ 6.412337 688 × 1010000
7004100000000000000♠ 10000 9000000000000000000♠ 2.846259 681 × 1035659
7004252060000000000♠ 25206 9000000000000000000♠ 1.205703 438 × 10100000
7005100000000000000♠ 100000 9000000000000000000♠ 2.824229 408 × 10456573
7005205023000000000♠ 205023 9000000000000000000♠ 2.503898 932 × 101000 004
7006100000000000000♠ 1000 000 9000000000000000000♠ 8.263931 688 × 105565 708
7100100000000000000♠ 10100 1010101.9981097754820
阶乘原始的定义是在整数，为离散，然而在部分领域如机率论要探讨到连续或其他需求（如组合数当取出的数量大于原有的数量会出现负阶乘）时，则需要将阶乘从正整数推广到实数，甚至是复数。
伽马函数将阶乘函数为非整数插值 。主要线索是阶乘函数的递归关系在连续的伽马函数中也存在。 除了非负整数之外，还可以为非整数值定义阶乘函数，但这需要使用更高级的数值分析 方法。
可以透过插值的方式将阶乘两整数之间填入数值，但其插入的数值必须也要满足阶乘的递回定义。一个良好的插值结果是
Γ
{\displaystyle \Gamma }
z
{\displaystyle z}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,.}
它与阶乘的关系是对于任何自然数n满足：
n
!
=
Γ
(
n
+
1
)
.
{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,.}
另外，我们也可利用此式以计算任意大于-1的实数的阶乘：
x
!
=
lim
N
→
∞
N
x
∏
k
=
1
N
k
x
+
k
=
∫
0
1
(
−
ln
(
t
)
)
x
d
t
.
{\displaystyle x!=\lim _{N\to \infty }N^{x}\prod _{k=1}^{N}{\frac {k}{x+k}}=\int _{0}^{1}(-\ln {(t)})^{x}\,dt\,.}
复数阶乘之模与辐角的等值线 可以透过
Γ
{\displaystyle \Gamma }
复数 的阶乘。右图显示了复数阶乘之模与辐角的等值线
令
f
{\displaystyle f}
f
=
ρ
e
i
φ
=
(
x
+
i
y
)
!
=
Γ
(
x
+
i
y
+
1
)
{\displaystyle f=\rho e^{i\varphi }=(x+{\rm {i}}y)!=\Gamma (x+iy+1)}
右图显示了几个模（绝对值）
ρ
{\displaystyle \rho }
φ
{\displaystyle \varphi }
−
3
≤
x
≤
3
{\displaystyle -3\leq x\leq 3}
−
2
≤
y
≤
2
{\displaystyle -2\leq y\leq 2}
φ
=
±
π
{\displaystyle \varphi =\pm \pi }
细线表示模或辐角相等之函数值的位置。在每个负整数的位置为奇点，无法定义其模和辐角，并且在离奇点越近的地方，等值线的密度就越密集。
在|z 泰勒级数 来计算：
z
!
=
∑
n
=
0
∞
g
n
z
n
=
1
−
γ
z
+
1
2
!
(
γ
2
+
π
2
6
)
z
2
−
1
3
!
(
γ
3
+
π
2
γ
2
+
2
ζ
(
3
)
)
z
3
+
1
4
!
(
γ
4
+
π
2
γ
2
+
3
π
4
20
+
8
ζ
(
3
)
γ
)
z
4
−
1
5
!
(
γ
5
+
5
π
2
γ
3
3
+
3
π
4
γ
4
+
(
20
γ
2
+
10
π
2
3
)
ζ
(
3
)
+
24
ζ
(
5
)
)
z
5
+
⋯
+
1
n
!
(
∫
0
∞
e
−
t
(
ln
t
)
n
d
t
)
z
n
+
⋯
≈
1
−
0.577215664
z
+
0.989055995
z
2
−
0.907479076
z
3
+
0.981728086
z
4
−
0.981995068
z
5
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}z!&=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}z^{n}\,\\&=1-\gamma z+{\frac {1}{2!}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z^{2}-{\frac {1}{3!}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\pi ^{2}\gamma }{2}}+2\zeta (3)\right)z^{3}\\&+{\frac {1}{4!}}\left(\gamma ^{4}+\pi ^{2}\gamma ^{2}+{\frac {3\pi ^{4}}{20}}+8\zeta (3)\gamma \right)z^{4}-{\frac {1}{5!}}\left(\gamma ^{5}+{\frac {5\pi ^{2}\gamma ^{3}}{3}}+{\frac {3\pi ^{4}\gamma }{4}}+(20\gamma ^{2}+{\frac {10\pi ^{2}}{3}})\zeta (3)+24\zeta (5)\right)z^{5}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt\right)z^{n}+\cdots \\&\approx 1-0.577215664z+0.989055995z^{2}-0.907479076z^{3}+0.981728086z^{4}-0.981995068z^{5}+\cdots \\\end{aligned}}}
其中，γ 欧拉-马斯刻若尼常数 、ζ (z )黎曼ζ函数 。部分计算机代数的系统存在可以直接产生这些展开式系数的语法。
z
z!
实数
1、2、3、4、5
1、2、6、24、120 （OEIS 数列A000142 ）
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
π
2
≈
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\approx \,}
0.88622692545276
{\displaystyle 0.88622692545276}
OEIS 数列A019704 ）
复数
i
{\displaystyle i}
0.49801566811836
−
0.15494982830181
i
{\displaystyle 0.49801566811836-0.15494982830181i}
OEIS 数列A212877 ）、（OEIS 数列A212878 ）
2
i
{\displaystyle 2i}
0.15190400267024
+
0.019804880162337
i
{\displaystyle 0.15190400267024+0.019804880162337i}
1
+
i
{\displaystyle 1+i}
0.65296549642017
+
0.34306583981655
i
{\displaystyle 0.65296549642017+0.34306583981655i}
四元数
j
{\displaystyle j}
0.49801566811836
−
0.15494982830181
j
{\displaystyle 0.49801566811836-0.15494982830181j}
k
{\displaystyle k}
0.49801566811836
−
0.15494982830181
k
{\displaystyle 0.49801566811836-0.15494982830181k}
1
+
i
+
j
{\displaystyle 1+i+j}
0.31694069797431
−
0.045151191260681
i
−
0.045151191260681
j
{\displaystyle 0.31694069797431-0.045151191260681i-0.045151191260681j}
阶乘的色相环复变函数图形 。颜色越深代表绝对值越接近零；颜色越接近白色代表绝对值趋于无穷。其中红色为正实数、青蓝色为负实数。 较大的阶乘值可透过双伽玛函数积分的连续分数来近似，这个方法由T. J. Stieltjes于1894提出。
将阶乘写为
z
!
=
e
P
(
z
)
{\displaystyle z!=e^{P(z)}}
P
(
z
)
{\displaystyle P(z)}
P
(
z
)
=
p
(
z
)
+
ln
2
π
2
−
z
+
(
z
+
1
2
)
ln
(
z
)
,
{\displaystyle P(z)=p(z)+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-z+\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\ln(z)\,,}
Stieltjes给出了其连分数值：
p
(
z
)
=
a
0
z
+
a
1
z
+
a
2
z
+
a
3
z
+
⋱
{\displaystyle p(z)={\cfrac {a_{0}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}}}
前几项系数
a
n
{\displaystyle a_{n}}
[ 10]
n a n
0
1
12
{\displaystyle {\frac {1}{12}}}
1
1
30
{\displaystyle {\frac {1}{30}}}
2
53
210
{\displaystyle {\frac {53}{210}}}
3
195
371
{\displaystyle {\frac {195}{371}}}
4
22999
22737
{\displaystyle {\frac {22999}{22737}}}
5
29944523
19733142
{\displaystyle {\frac {29944523}{19733142}}}
6
109535241009
48264275462
{\displaystyle {\frac {109535241009}{48264275462}}}
负整数的阶乘可透过阶乘的递回 定义
n
!
=
n
×
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle n!=n\times (n-1)!}
(
n
−
1
)
!
=
n
!
n
.
{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}.}
但由于在此定义下计算负一 的阶乘会出现除以零 （即
(
0
−
1
)
!
=
0
!
0
{\displaystyle (0-1)!={\frac {0!}{0}}}
透过伽玛函数或其展开式亦可以将阶乘扩展到其他能定义加法和乘法等基本运算的数学结构，如矩阵 [ 11]
矩阵 的阶乘具有如下性质：
A
!
=
Γ
(
A
+
I
)
=
A
Γ
(
A
)
=
A
(
A
−
I
)
!
{\displaystyle A!=\Gamma (A+I)=A\Gamma (A)=A(A-I)!}
并且
Γ
(
I
)
=
I
{\displaystyle \Gamma (I)=I}
I
{\displaystyle I}
A
{\displaystyle A}
方阵 ，同时
A
!
{\displaystyle A!}
非奇异矩阵 [ 12]
换句话说，即矩阵
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
!
=
(
n
I
)
!
=
n
!
I
{\displaystyle A!=(nI)!=n!I}
(
n
0
0
n
)
!
=
n
!
I
=
(
n
!
0
0
n
!
)
{\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}n&0\\0&n\end{smallmatrix}}{\bigr )}!=n!I={\bigl (}{\begin{smallmatrix}n!&0\\0&n!\end{smallmatrix}}{\bigr )}}
对于一个可对角化矩阵
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )}}
(
a
b
c
d
)
!
=
Γ
(
(
a
+
1
b
c
d
+
1
)
)
=
1
2
Ω
(
Γ
(
λ
1
)
(
d
−
a
+
Ω
)
+
Γ
(
λ
2
)
(
a
−
d
+
Ω
)
−
2
b
(
Γ
(
λ
1
)
−
Γ
(
λ
2
)
)
−
2
c
(
Γ
(
λ
1
)
−
Γ
(
λ
2
)
)
Γ
(
λ
1
)
(
a
−
d
+
Ω
)
+
Γ
(
λ
2
)
(
d
−
a
+
Ω
)
)
{\displaystyle \left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right.!=\Gamma \left({\bigl (}{\begin{smallmatrix}a+1&b\\c&d+1\end{smallmatrix}}{\bigr )}\right)={\frac {1}{2\Omega }}{\begin{pmatrix}\Gamma (\lambda _{1})\left(d-a+\Omega \right)+\Gamma (\lambda _{2})\left(a-d+\Omega \right)&-2b\left(\Gamma (\lambda _{1})-\Gamma (\lambda _{2})\right)\\-2c\left(\Gamma (\lambda _{1})-\Gamma (\lambda _{2})\right)&\Gamma (\lambda _{1})\left(a-d+\Omega \right)+\Gamma (\lambda _{2})\left(d-a+\Omega \right)\end{pmatrix}}}
[ 12] 其中，
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}}
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}}
(
a
+
1
b
c
d
+
1
)
{\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}a+1&b\\c&d+1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}
特征值 ，分别为
λ
1
=
1
+
(
a
+
d
−
Ω
)
2
{\displaystyle \lambda _{1}=1+{\begin{smallmatrix}{\frac {\left(a+d-\Omega \right)}{2}}\end{smallmatrix}}}
λ
2
=
1
+
(
a
+
d
+
Ω
)
2
{\displaystyle \lambda _{2}=1+{\begin{smallmatrix}{\frac {\left(a+d+\Omega \right)}{2}}\end{smallmatrix}}}
Ω
=
(
a
−
d
)
2
+
4
b
c
{\displaystyle \Omega ={\begin{smallmatrix}{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}\end{smallmatrix}}}
[ 12]
伽玛函数 阶乘的定义可推广到复数，其与伽玛函数 的关系为：
z
!
=
Γ
(
z
+
1
)
=
∫
0
∞
t
z
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!}
伽玛函数满足
Γ
(
n
+
1
)
=
(
n
)
Γ
(
n
)
{\displaystyle \Gamma (n+1)=(n)\Gamma (n)}
另一种定义扩展是阿达马伽玛函数 ，但由于其不在所有实数上皆能满足阶乘的递回定义，只有在正整数上满足阶乘的递回定义
n
!
=
n
×
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle n!=n\times (n-1)!}
H
(
x
+
1
)
=
x
H
(
x
)
+
1
Γ
(
1
−
x
)
{\displaystyle H(x+1)=x\,H(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}}}
其后面的项
1
Γ
(
1
−
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1-x)}}}
递进阶乘：
(
x
)
n
=
x
n
¯
=
x
(
x
+
1
)
.
.
.
(
x
+
n
−
1
)
{\displaystyle (x)_{n}=x^{\overline {n}}=x(x+1)...(x+n-1)}
递降阶乘：
x
n
_
=
x
(
x
−
1
)
.
.
.
(
x
−
n
+
1
)
{\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)...(x-n+1)}
x
n
¯
=
(
−
1
)
n
(
−
x
)
n
_
{\displaystyle x^{\overline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\underline {n}}}
正整数的双阶乘表示小于等于该数的所有具相同奇偶性的正整数的乘积，即：
{
(
2
n
−
1
)
!
!
=
1
×
3
×
5
×
⋯
×
(
2
n
−
1
)
(
2
n
)
!
!
=
2
×
4
×
6
×
⋯
×
(
2
n
)
,
n
∈
N
{\displaystyle {\begin{cases}(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times \cdots \times (2n-1)\\(2n)!!=2\times 4\times 6\times \cdots \times (2n)\end{cases}},n\in \mathbb {N} }
无视上述定义的
n
!
!
{\displaystyle n!!}
N
{\displaystyle N}
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
z
!
!
=
z
(
z
−
2
)
⋯
(
3
)
=
2
z
−
1
2
(
z
2
)
(
z
−
2
2
)
⋯
(
3
2
)
=
2
z
−
1
2
Γ
(
z
2
+
1
)
Γ
(
1
2
+
1
)
=
2
z
+
1
π
Γ
(
z
2
+
1
)
.
{\displaystyle z!!=z(z-2)\cdots (3)=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {3}{2}}\right)=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}+1\right)}}={\sqrt {\frac {2^{z+1}}{\pi }}}\Gamma \left({\frac {z}{2}}+1\right)\,.}
获得的表达接受一个以上公式
(
2
n
+
1
)
!
!
{\displaystyle (2n+1)!!}
(
2
n
−
1
)
!
!
{\displaystyle (2n-1)!!}
γ
{\displaystyle \gamma }
乘法定理 ）等同于一个给定在这里。
z
!
!
{\displaystyle z!!}
比较上式与
(
2
n
)
!
!
{\displaystyle (2n)!!}
(
2
n
)
!
!
{\displaystyle (2n)!!}
0
!
!
{\displaystyle 0!!}
(
2
n
)
!
!
=
2
n
×
(
2
n
−
2
)
×
(
2
n
−
4
)
×
⋯
×
4
×
2
×
0
!
!
{\displaystyle (2n)!!=2n\times (2n-2)\times (2n-4)\times \cdots \times 4\times 2\times 0!!}
其中
0
!
!
=
2
π
{\displaystyle 0!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}
使用它的定义，半径为
R
{\displaystyle R}
n维超球 其体积可表示为：
V
n
=
2
(
2
π
)
n
−
1
2
n
!
!
R
n
.
{\displaystyle V_{n}={\frac {2(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}.}
V
n
=
(
π
)
n
2
n
2
!
R
n
.
{\displaystyle V_{n}={\frac {(\pi )^{\frac {n}{2}}}{{\frac {n}{2}}!}}R^{n}.}
n
!
(
k
)
{\displaystyle n!^{(k)}}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
n
!
(
k
)
=
{
1
,
if
0
≤
n
<
k
;
n
(
n
−
k
)
!
(
k
)
,
if
n
≥
k
.
{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{if }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}
能将多重阶乘 推广到复数 （甚至是四元数 ）
z
!
(
k
)
=
z
(
z
−
k
)
⋯
(
k
+
1
)
=
k
z
−
1
k
(
z
k
)
(
z
−
k
k
)
⋯
(
k
+
1
k
)
=
k
z
−
1
k
Γ
(
z
k
+
1
)
Γ
(
1
k
+
1
)
.
{\displaystyle z!^{(k)}=z(z-k)\cdots (k+1)=k^{\frac {z-1}{k}}\left({\frac {z}{k}}\right)\left({\frac {z-k}{k}}\right)\cdots \left({\frac {k+1}{k}}\right)=k^{\frac {z-1}{k}}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{k}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)}}\,.}
所谓的四次阶乘 （又称四重阶乘 ） 不是
n
!
4
{\displaystyle n!^{4}}
(
2
n
)
!
n
!
{\displaystyle {\frac {(2n)!}{n!}}}
四次阶乘 为
1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280, .... 它也等于
2
n
(
2
n
)
!
n
!
2
n
=
2
n
(
2
⋅
4
⋯
2
n
)
[
1
⋅
3
⋯
(
2
n
−
1
)
]
2
⋅
4
⋯
2
n
=
(
1
⋅
2
)
⋅
(
3
⋅
2
)
⋯
[
(
2
n
−
1
)
⋅
2
]
=
(
4
n
−
2
)
!
(
4
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}2^{n}{\frac {(2n)!}{n!2^{n}}}&=2^{n}{\frac {(2\cdot 4\cdots 2n)[1\cdot 3\cdots (2n-1)]}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[8pt]&=(1\cdot 2)\cdot (3\cdot 2)\cdots [(2n-1)\cdot 2]=(4n-2)!^{(4)}.\end{aligned}}}
hyperfactorial（有时译作过阶乘 ）写作
H
(
n
)
{\displaystyle H(n)}
H
(
n
)
=
∏
k
=
1
n
k
k
=
1
1
⋅
2
2
⋅
3
3
⋯
(
n
−
1
)
n
−
1
⋅
n
n
{\displaystyle H(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}\cdot n^{n}}
hyper阶乘和阶乘差不多，但产生更大的数。hyper阶乘的增长速度却并非跟一般阶乘在大小上相差很远。
前几项的hyper阶乘为：
1 , 4 , 108 , 27648, 86400000, ... （OEIS 数列A002109 ）
1995年，尼尔·斯洛恩 和西蒙·普劳夫 定义了超阶乘（superfactorial）为首
n
{\displaystyle n}
s
f
(
n
)
=
1
!
×
2
!
×
3
!
×
⋯
×
n
!
{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=1!\times 2!\times 3!\times \cdots \times n!}
s
f
(
n
)
=
∏
k
=
1
n
k
!
=
∏
k
=
1
n
k
n
−
k
+
1
=
1
n
⋅
2
n
−
1
⋅
3
n
−
2
⋯
(
n
−
1
)
2
⋅
n
1
.
{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}
前几项的超阶乘为：
1 , 2 , 12 , 288 , 34560, 24883200, ... （OEIS 数列A000178 ）
柯利弗德·皮寇弗 在他的书Key to Infinity 定义了另一个超阶乘，写作
n
S
!
{\displaystyle n\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}}
S
!
{\displaystyle \mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}}
n
S
!
=
n
(
4
)
n
{\displaystyle n\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=n^{(4)}n}
(4), 表示hyper4 ，使用高德纳箭号表示法 即
n
S
!
=
(
n
!
)
↑↑
(
n
!
)
{\displaystyle n\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=(n!)\uparrow \uparrow (n!)}
1
S
!
=
1
{\displaystyle 1\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=1}
2
S
!
=
2
2
=
4
{\displaystyle 2\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=2^{2}=4}
3
S
!
=
6
↑↑
6
=
6
6
6
6
6
6
{\displaystyle 3\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=6\uparrow \uparrow 6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}}
4
S
!
=
(
4
!
)
↑↑
(
4
!
)
=
24
↑↑
24
{\displaystyle 4\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=(4!)\uparrow \uparrow (4!)=24\uparrow \uparrow 24}
24
24
.
.
.
24
{\displaystyle {\begin{matrix}{24_{}^{24^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{24}}}}}}}\\\end{matrix}}}
质数阶乘 是所有小于或等于该数且大于或等于2的质数 的积，自然数
n
{\displaystyle n}
质数阶乘 ，写作
n
#
{\displaystyle n\#}
目前质数阶乘 只能用递回 方式定义，因为尚未找到一个能用基本函数表示所有质数 的函数 或一条包含所有质数 的曲线
一般情况下质数阶乘 定义为：
n
#
=
∏
i
=
1
π
(
n
)
p
i
=
p
π
(
n
)
#
{\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}
其中,
π
(
n
)
{\displaystyle \pi (n)}
质数计数函数 ，小于或等于某个实数
n
{\displaystyle n}
≤
n
{\displaystyle \leq n}
阶幂 也称叠幂 或者重幂 记作
n
!
{\displaystyle n^{!}}
n
{\displaystyle n}
n
!
=
n
(
n
−
1
)
!
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
.
.
.
3
2
1
{\displaystyle n^{!}=n^{{(n-1)}^{!}}=n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}}
其中
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
1 , 2 , 9 , 262144 , ... （OEIS 数列A049384 ）
第5个重幂数是一个有183231位阿拉伯数字 组成的超大自然数[ 13] [ 14]
6.20606987866
×
10
183230
{\displaystyle 6.20606987866\times 10^{183230}}
另外一种定义则是每个阶幂都先取一次阶乘：
n
!
(
n
−
1
)
!
!
=
n
!
(
n
−
1
)
!
(
n
−
2
)
!
.
.
.
3
!
2
!
1
!
{\displaystyle n!^{{(n-1)!}^{!}}=n!_{}^{(n-1)!^{{(n-2)!}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3!}^{{2!}^{1!}}}}}}}}}
前几个阶乘阶幂为：
1, 2, 36 , 48708493958471199415506599153950129703565945470976, ... （OEIS 数列A073581 ）
第5个阶乘阶幂值已大于
10
10
50
{\displaystyle 10^{10^{50}}}
[ 15] [ 16]
4.3056
×
10
1.01274
×
10
50
≈
10
10
50.00549705084703
{\displaystyle 4.3056\times 10^{1.01274\times 10^{50}}\approx 10^{10^{50.00549705084703}}}
二次阶幂：
n
!
!
=
n
!
2
=
n
!
(
n
−
1
)
!
(
n
−
2
)
!
.
.
.
3
!
2
!
1
!
{\displaystyle n^{!!}=n^{{!}^{2}}={n^{{!}{(n-1)^{{!}{{(n-2)}^{{!}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!}{2^{{!}{1^{!}}}}}}}}}}}}}}}}
前几个二次阶幂为：
1, 2, 81...
第4个阶乘阶幂值已大于
10
438
{\displaystyle 10^{438}}
7.975
×
10
438
{\displaystyle 7.975\times 10^{438}}
相应地，
m
{\displaystyle m}
n
!
m
=
n
!
(
m
−
1
)
(
n
−
1
)
!
m
=
n
!
(
m
−
1
)
(
n
−
1
)
!
(
m
−
1
)
(
n
−
2
)
!
(
m
−
1
)
.
.
.
3
!
(
m
−
1
)
2
!
(
m
−
1
)
1
!
(
m
−
1
)
{\displaystyle n^{{!}^{m}}=n^{{!}^{(m-1)}{(n-1)}^{!^{m}}}={n^{{!^{(m-1)}}{(n-1)^{{!^{(m-1)}}{{(n-2)}^{{!^{(m-1)}}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!^{(m-1)}}{2^{{!^{(m-1)}}{1^{!^{(m-1)}}}}}}}}}}}}}}}}}
其中
n
{\displaystyle n}
m
≥
1
{\displaystyle m\geq 1}
n
,
m
∈
Z
{\displaystyle n,m\in Z}
倒数阶乘是指所有小于及等于该数的正整数之倒数 的积，其值与阶乘的倒数相同：
∏
k
=
1
n
1
k
=
1
n
!
∀
n
≥
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{n!}}\quad \forall n\geq 1}
其无穷级数收敛在e [ 17]
∑
n
=
0
∞
∏
k
=
1
n
1
k
=
e
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=e}
考量阶乘可以表示为连续的伽玛函数，则有
∫
−
1
∞
d
x
x
!
=
∫
0
∞
d
x
Γ
(
x
)
≈
2.80777024
,
{\displaystyle \int _{-1}^{\infty }{\frac {dx}{x!}}\,=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\Gamma (x)}}\,\approx 2.80777024,}
这个值又称为弗朗桑－罗宾逊常数 [ 18]
反阶乘的复变函数图形 反阶乘是阶乘的反函数，用于求解指定的数是哪个数的阶乘。例如120的反阶乘为5，因为5的阶乘为120。反阶乘可以透过泰勒级数或反伽玛函数 来评估与计算。
反阶乘可以用了推算某个数大约是多少的阶乘。
由于阶乘与伽玛函数之间的关联，反阶乘也可以透过反伽玛函数近似公式来估计：
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
≈
−
1
+
α
+
2
(
x
−
Γ
(
α
)
)
Ψ
(
1
,
α
)
Γ
(
α
)
.
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}
因此，反阶乘也可以写成如下的渐近分析 形式：[ 19]
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
x
)
∼
ln
(
x
2
π
)
W
0
(
e
−
1
ln
(
x
2
π
)
)
−
1
2
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}}
其中
W
0
(
x
)
{\displaystyle W_{0}(x)}
朗伯W函数 。这个公式是利用史特灵公式 求逆得到的，因此也可以展开为渐近级数。
瑞士数学家欧拉 （Euler, L.）于1751年用大写字母
M
{\displaystyle M}
m
{\displaystyle m}
M
=
1
⋅
2
⋅
3
⋅
⋯
⋅
m
{\displaystyle M=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot m}
意大利数学家鲁菲尼（Ruffini, P.）在1799年出版的方程著述中，用小写字母
π
{\displaystyle \pi }
m
{\displaystyle m}
德国数学家高斯 （Gauss, C.F）于1818年则用
Π
(
n
)
{\displaystyle \Pi (n)}
n 阶乘。
用符号
∣
n
_
{\displaystyle {\underline {\mid n}}}
n
{\displaystyle n}
现在通用的阶乘符号
n
!
{\displaystyle n!}
格奥尔格·欧姆 （Ohm, M.）等人的倡议而流行起来，直用到现在。
^ 例如：
1
!
=
0
!
=
1
{\displaystyle 1!=0!=1\,}
(
−
0.5
)
!
=
π
{\displaystyle (-0.5)!={\sqrt {\pi }}}
0.5
!
=
0.5
π
.
{\displaystyle 0.5!=0.5{\sqrt {\pi }}.}
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5
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24
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2
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![{\displaystyle \prod _{p\leq n}p^{\sum _{r=1}^{n}[{\frac {n}{p^{r}}}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78999c4f17cea2e882ba2a4ec166a878f9ebc9d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{n}{\frac {(2n)!}{n!2^{n}}}&=2^{n}{\frac {(2\cdot 4\cdots 2n)[1\cdot 3\cdots (2n-1)]}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[8pt]&=(1\cdot 2)\cdot (3\cdot 2)\cdots [(2n-1)\cdot 2]=(4n-2)!^{(4)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8918d39892ffb4c29b1c32467732f3f5f555aee2)
