马丁公理

数学集合论中,马丁公理(Martin's axiom)是一个由唐纳德·A·马丁英语Donald A. Martin罗伯特·M·梭罗维英语Robert M. Solovay引进的[1]公理,这公理独立于惯常的、带有选择公理策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)。这公理在连续统假设成立的状况下成立,但也与否定连续统假设的ZFC公理系统相容。

用较不正式的讲法,马丁公理讲的是任何小于连续统的基数,其行为会与大体类似。这公理背后的想法可借由研究罗修娃-西葛斯基引理的证明得知;而这是用以控制特定力迫论证的其中一个原则。

陈述

给定任意的基数 ,我们可以定义一个如下的陈述,并将这陈述给记做 

对于任意满足可数链条件偏序 及任意 的稠密集的集族 而言,若 ,则存在一个 上的滤子 ,使得对于任意的 而言, 非空。

由于这是一个使得 不成立的ZFC定理之故,因此马丁公理可表述如下:

马丁公理(MA):对于任意的  成立

在这情况(应用可数链条件)下,一个反链  的子集,且这子集使得 的任意两个元素不兼容(若在偏序中存在一个低于两者的共通元素,则说两个元素是兼容的),而这与等情况下的反链是不同的。

 为真,而这即是罗修娃-西葛斯基引理

 为假: 是一个紧致豪斯多夫空间,因此是个可分空间并满足可数链条件。这集合没有孤立点,因此其中的点是无处稠密的;但这集合是 这么多的点的联集。(也可参见下述的与 等价的条件)

等价的陈述

以下陈述与 等价:

  •  是一个满足可数链条件的紧致豪斯多夫空间,那 不会是 个或更少的无处稠密集的联集。
  •  是一个上升的、满足可数链条件偏序集,而  的馀有限子集的集族,且 ,则存在一个向上的集合 使得 会见所有 的元素。
  •  是一个满足可数链条件的非零布尔代数  的子集的集族,且 ,那就存在一个布尔同态 ,使得对于任意 中的 而言,要不有一个 ,使得 ,要不有个 有个上界 ,使得 

结果

马丁公理在组合数学数学分析拓朴学上有许多有其他有趣的结果:

  • 波兰空间上的无原子σ-有限博雷尔测度中, 个或更少的零测集依旧是零测集;不仅如此,实数集的 个或更少的勒贝格测度为零的子集的联集,其勒贝格测度为零。
  • 对于一个紧致豪斯多夫空间 而言,若 ,则这空间是序列紧致的,也就是说这空间中的每个序列都有一个收敛子序列。
  •  上,没有任何非主要的超滤子的基本基数会小于 
  • 等价地,对于任意的 ,有 ,此处的  特征英语Cardinal function,因此 
  •  蕴含说满足可数链条件的拓朴空间的乘积依旧满足可数链条件,而这结果又蕴含说苏斯林线英语Suslin line不存在。
  • 若马丁公理成立,而连续统假设不成立,那就表示存在有非自由的怀特海群(Whitehead group);细拉英语Saharon Shelah用这结果证明说怀特海问题独立于ZFC。

后续发展

参考资料

  1. ^ Martin, Donald A.; Solovay, Robert M. Internal Cohen extensions. Ann. Math. Logic. 1970, 2 (2): 143–178. MR 0270904. doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4 . 
  2. ^ Davis, Sheldon W. Topology. McGraw Hill. 2005: 29. ISBN 0-07-291006-2. 

延伸阅读

  • Fremlin, David H. Consequences of Martin's axiom. Cambridge tracts in mathematics, no. 84. Cambridge: Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-25091-9. 
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.