魏尔施特拉斯分解定理

魏尔施特拉斯分解定理（英语：Weierstrass factorization theorem）是指任意整函数$f(z)$可以分解为如下无穷乘积的形式：

$f(z)=$$z^{m}e^{g(z)}$$\prod _{n=1}^{\infty }$$(1-{\tfrac {z}{a_{n}}})$$e^{{\tfrac {z}{a_{n}}}+{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{2}+{\tfrac {1}{3}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{3}+\cdots +{\tfrac {1}{h}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{h}}$$=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)$

其中$g(z)$是另一整函数，$h$是上述无穷乘积收敛的最小整数，称为亏格。$E_{p_{n}}$是魏尔施特拉斯的基本因子。这种无穷乘积称为典范乘积。求解$g(z)$的方法一般是两边同时取对数再求导数，这样右边就可以化为无穷级数形式，通过对比无穷级数理论中的相关结果得出$g(z)$的形式。

基本因子

英文为primary factors或是elementary factors。也有译为“主要因子”的版本。

对于任意的$n\in \mathbb {N} _{0}$，基本因子$E_{n}(z)$的定义如下：

${\begin{aligned}&E_{n}(z)=(1-z)\exp \left(h_{n}(z)\right)\\&h_{n}(z)={\begin{cases}0&{\text{ if }}n=0,\\{\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}\end{aligned}}$

其中，级数$h_{n}(z)={\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}$。

对于级数$h_{n}(z)$，有如下性质。以下性质在后续引理的证明中会用到（主要是3.、4.与5.）。

1. $|z|<1$的情况下，$h_{n}(z)$可被展开为${\frac {1}{1-z}}=1+z^{1}+z^{2}+z^{3}+\cdots$。接着两边同时积分，可得${\begin{aligned}\int {\frac {1}{1-z}}dz=-\log(1-z)={\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+\cdots \end{aligned}}$。所以$h_{n}(z)$的极限可以表示为$h_{\infty }(z)=\lim _{n\to \infty }h_{n}(z)=-\log(1-z)$。
2. 因为$(1-z)=\exp(\log(1-z))=\exp \left(-h_{\infty }(z)\right)$，所以${\frac {1}{1-z}}=\exp \left(h_{\infty }(z)\right)$。
3. 如果将$h_{\infty }(z)$与$h_{n}(z)$之间的差额定义为新的级数$r_{n}(z)=h_{\infty }(z)-h_{n}(z)$。
4. 利用2.与3.改写$E_{n}(z)$的定义式：${\begin{aligned}&E_{n}(z)=(1-z)\exp \left(h_{n}(z)\right)=(1-z)\exp \left(h_{\infty }(z)-r_{n}(z)\right)\\&\quad =(1-z){\frac {1}{1-z}}\exp \left(-r_{n}(z)\right)=\exp \left(-r_{n}(z)\right)\end{aligned}}$。改写后的基本因子定义式$E_{n}(z)=\exp \left(-r_{n}(z)\right)$将会在后续引理的证明中用到。
5. 将3.的关系写成级数形式：$r_{n}(z)={\frac {z^{n+1}}{n+1}}+{\frac {z^{n+2}}{n+2}}+{\frac {z^{n+3}}{n+3}}+\cdots =\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {z^{n+1}}{n+1}}={\frac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n+1+k}}z^{k}$。

利用以上性质，可以证明下面的重要引理。该引理在后续证明魏尔施特拉斯分解定理时有关键性作用。

引理 (15.8, Rudin): 对于$|z|\leq 1,n\in \mathbb {N} _{0}$，

${\begin{aligned}\left|1-E_{n}(z)\right|\leq |z|^{n+1}\end{aligned}}$成立。

证明：

$n=0$时，$|1-z|\leq |z|$显而易见。所以只讨论$n\geq 1$的情况。

i) 将引理左边的部分（不带绝对值）定义为一个新函数$u_{n}(z)=1-E_{n}(z)=1-(1-z)\exp h_{n}(z)$。后续称此式为式$(1)$。

运用性质4.与5.改写式$(1)$：

${\begin{aligned}u_{n}(z)=1-E_{n}(z)=1-\exp \left(-r_{n}(z)\right)=1-\exp \left(-{\frac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n+1+k}}z^{k}\right)=1-\exp(-{\frac {z^{n+1}}{n+1}})\exp {(-{\frac {z^{n+2}}{n+1}}{\frac {n+1}{n+2}})}\exp {(-{\frac {z^{n+3}}{n+1}}{\frac {n+1}{n+3}})}...\end{aligned}}$

将指数部分展开后可得（为了简洁，系数用字母$b,c,d$表示）：$u_{n}(z)=1-(1-b_{n+1}z^{n+1}+b_{2n+2}z^{2n+2}+...)(1-c_{n+2}z^{n+2}+c_{2n+4}z^{2n+4}+...)(1-d_{n+3}z^{n+3}+d_{2n+4}z^{2n+4}+...)...$

整理后可得，$u_{n}(z)$可以用一个新的级数来表示：$u_{n}(z)=1-(1-b_{n+1}z^{n+1}-c_{n+2}z^{n+2}-d_{n+3}z^{n+3}+...)$。将系数统一用$a$（如$a_{0}=b_{n+1},a_{1}=c_{n+2}$）来标注的话，$u_{n}(z)=z^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$。

将该结果微分，可得：

$u'_{n}(z)=a_{0}(n+1)z^{n}+a_{1}(n+2)z^{n+1}+a_{2}(n+3)z^{n+2}+...$

ii) 将式$(1)$直接微分，可得

${\begin{aligned}&u_{n}^{\prime }(z)=-E_{n}^{\prime }(z)=\exp h_{n}(z)-(1-z)h_{n}^{\prime }(z)\exp h_{n}(z)\\&\quad =\exp h_{n}(z)-(1-z){\frac {1-zn}{1-z}}\exp h_{n}(z)=z^{n}\exp h_{n}(z)\end{aligned}}$

将指数部分展开可得。

$u_{n}^{\prime }(z)=z^{n}\exp h_{n}(z)=z^{n}\exp({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}})=z^{n}\exp(z)\exp({\frac {z^{2}}{2}})\exp({\frac {z^{3}}{3}})...\exp({\frac {z^{n}}{n}})=z^{n}(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}})(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {x^{2l}}{2^{l}l!}})...(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {x^{nj}}{n^{j}j!}})$

结论1：比较i)与ii)的结果。比较$z^{n}$项可知，$a_{0}(n+1)=1\to a_{0}={\frac {1}{n+1}}$。同样的方法比较后续项可知，$a_{k}$皆为正的实数。

iii) 基于$u_{n}$新设一个级数$v_{n}(z)={\frac {u_{n}(z)}{z^{n+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$。因为极点是一个可消极点，所以这也是一个整函数。计算$v_{n}(1)={\frac {u_{n}(1)}{1^{n+1}}}=1-E_{n}(1)=1-[(1-1)\exp \left(h_{n}(1)\right)]=1$

所以在给定的条件$|z|\leq 1$下，运用绝对值不等式的基本性质和结论1：

$\left|v_{n}(z)\right|\leq \sum _{k=0}^{\infty }\left|a_{k}\|z\right|^{k}\leq \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=v_{n}(1)=1{\text{ if }}|z|\leq 1$

即，$\left|v_{n}(z)\right|=\left|{\frac {u_{n}(z)}{z^{n+1}}}\right|\leq 1\to \left|1-E_{n}(z)\right|\leq |z|^{n+1}$成立。引理(15.8)证明完毕。

相关条目

• 复分析
• 卡尔·魏尔施特拉斯

延伸阅读

• Alford的《复分析》