黄金进制
黄金进制（英语：Golden ratio base）是使用黄金比φ作为底数的进位制，其中 是一个无理数。在英语中，黄金进制也叫做base-φ、golden mean base、phi-base、phinary。在黄金进制下，任何非负整数都约定使用0和1表示，并且不连续使用两个1，这叫做黄金进制的标准形。任何黄金进制的数凡是出现11，就一定可以根据黄金比φ的性质 φ+1=φ2 表示成标准形。例如，11φ = 100φ。
虽然黄金进制使用无理数作为基底，任何非负整数在黄金进制下都可以表示成有限小数。所有有理数则都可以表示成循环小数。所有数的有限表示都是唯一的，但和十进制一样，整数和有限小数都可以写成无限小数的形式，如十进制中的 1 = 0.99999…。
举例
| 十进制数 | 用φ的幂表示 | φ进制数 |
|---|---|---|
| 1 | φ0 | 1 |
| 2 | φ1 + φ−2 | 10.01 |
| 3 | φ2 + φ−2 | 100.01 |
| 4 | φ2 + φ0 + φ−2 | 101.01 |
| 5 | φ3 + φ−1 + φ−4 | 1000.1001 |
| 6 | φ3 + φ1 + φ−4 | 1010.0001 |
| 7 | φ4 + φ−4 | 10000.0001 |
| 8 | φ4 + φ0 + φ−4 | 10001.0001 |
| 9 | φ4 + φ1 + φ−2 + φ−4 | 10010.0101 |
| 10 | φ4 + φ2 + φ−2 + φ−4 | 10100.0101 |
转化到标准形
211.01φ是φ进制数，但并非标准形，因为它含有“11”和“2”，以及1=-1。我们可以根据以下公式将它转化到标准形：
- 011φ = 100φ
- 0200φ = 1001φ
- 010φ = 101φ
公式的代换过程对结果没有影响。具体过程如下：
211.01φ 300.01φ 011φ → 100φ 1101.01φ 0200φ → 1001φ 10001.01φ 011φ → 100φ (again) 10001.101φ 010φ → 101φ 10000.011φ 010φ → 101φ (again) 10000.1φ 011φ → 100φ (again)
任意非标准形正数都可以唯一地标准化。这样处理之后如果第一位是负数，此时需要将每一位数都变成相反数，重新标准化并加上负号。例如：
- 101φ = -101φ = -110.1φ = -1.1φ = -10φ
整数的黄金进制表示
通常所说的整数在黄金进制下是有限小数。例如，整数5转化成黄金进制的过程如下所示：
- 5以下φ的最高次幂是 φ3 = 1 + 2φ ≈ 4.236；
- 与5求差为5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763；
- 0.763以下最大的φ的幂是 φ－1 = -1 + 1φ ≈ 0.618；
- 再次求差，4 - 2φ - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145
- 0.145以下最大的φ的幂是 φ－4 = 5 - 3φ ≈ 0.145；
- 再次求差得到0
- 于是： 5 = φ3 + φ－1 + φ－4
5用φ进制表示就是1000.1001φ。
这里其实利用了以下事实：凡φ的幂都可以用整数a、b表示成 a + b φ 的形式。因为 φ2 = φ + 1 、φ－1 = -1 + φ 。如此一来，数之间比大小就容易了。实际上，a + bφ > c + dφ 和 2(a － c) － (d － b) > (d － b) × √5 等价。只需将 φ = (1+√5)/2 代入，稍作处理就可得到这一结果。
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\phi ]:=\{a+b\phi \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425ec68f4c5f0675c7bfcc57097861e08530fea3)
数的表示不唯一
和其他进位制相同，黄金进制中也可以用多种形式表示同一个数。就像10进制中0.999...=1，φ进制中0.1010101…φ=1。
- 使用非标准形变换：1 = 0.11φ = 0.1011φ = 0.101011φ = … = 0.10101010…φ
- 使用等比级数展开：1.0101010…φ 等于
- 错项相减：φ2 x - x = 10.101010…φ - 0.101010…φ = 10φ = φ 所以 x = φ/(φ2 － 1) = 1
这种不唯一是进位制的特征，1.0000和0.101010…都是标准形。一般地，φ进位制中数最后的1用01循环代替即可得到另一标准形。
有理数的黄金进制表示
在黄金进制中，可以用有限小数或者循环小数表示任意非负有理数，以及从有理数和√5生成的域Q[√5]中的非负元素。其中
相反地，黄金进制中的有限/循环小数都是Q[√5] 中的非负元素。例如：
- 1/2 ≈ 0.010 010 010 010 ... φ
- 1/3 ≈ 0.00101000 00101000 00101000... φ
- √5 = 10.1φ
- 2+(1/13)√5 ≈ 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 ...φ
对这一点的证明与十进制中类似。在黄金进制下进行长除法。因为其余数的可能值是有限个，所以必定会出现循环。例如 1/2 = 1/10.01φ = 100φ/1001φ 进行长除法如下：
.0 1 0 0 1
________________________
1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 代换 10000 = 1100 = 1011
_______ 于是 10000-1001 = 1011-1001 = 10
1 0 0 0 0
1 0 0 1
_______
etc.
反之，黄金进制中的循环小数都属于Q[√5]。因为循环部分形成了等比级数，对它求和即可得到Q[√5]的元素。
无理数的黄金进制表示
常见无理数的黄金进制表示如下：
四则运算
在黄金进制中可以和其它进制一样进行四则运算。加法、减法、乘法的计算方法如下：
加、减、乘
- 先计算，后转化
- 即先对每一位按十进制数的方法计算，但不进行进位、借位，计算完再转化为标准形。例如：
- 2+3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001
- 2×3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001
- 7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0101 = 1000.1001
- 避免0和1以外的数
- 更加自然的做法是将数转化为非标准形，以避免出现需要进位和借位的 1+1 或 0-1 。例如：
- 2+3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001
- 7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 1100.0001 - 10.01 = 1011.0001 - 10.01 = 1010.1101 - 10.01 = 1000.1001
除法
除了整数以外，所有有理数都不能用有限位φ进制数表示。也就是说，黄金进制中能用有限小数表示的数只有整数或者域Q[√5]中的无理数。两个整数相除得到有理数的情况已经在上文说明了。
斐波那契进制
斐波那契进制（Fibonaccimal Base）是与黄金进制关系紧密的计数系统。它只用0和1表示数，每个数位的位值对应斐波那契数[1]。和黄金进制一样，其标准形也不连续使用两个1。如：
- 30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010fib.
参见
外部链接
参考资料
- ^ 1.0 1.1 Fibonaccimal Base. onlinejudge.org. [2022-10-06]. （原始内容存档于2022-10-09）.
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A014417 (Representation of n in base of Fibonacci numbers (the Zeckendorf representation of n)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- Bergman, George, A Number System with an Irrational Base, Mathematics Magazine, 1957, 31 (2): 98–110 [2011-01-13], doi:10.2307/3029218, （原始内容存档于2015-11-07）
- Plojhar, Jozef, the Good~natured Rabbit~breeder, Manifold, 1971, 11: 26–30