假设对于数论函数 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 和 F ( n ) {\displaystyle F(n)} ，有以下关系式：
F ( n ) = ∑ d | n f ( d ) {\displaystyle F(n)=\sum _{d|n}f(d)}
则将其默比乌斯反转公式定义为：
f ( n ) = ∑ d | n μ ( d ) F ( n d ) {\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)}
这里 μ {\displaystyle \mu } 为默比乌斯函数，定义为：
设 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 及 G ( x ) {\displaystyle G(x)} 为定义在 [ 1 , ∞ ) {\displaystyle [1,\infty )} 上的复值函数并且
G ( x ) = ∑ 1 ⩽ n ⩽ x F ( x n ) {\displaystyle G(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}F\left({\frac {x}{n}}\right)}
则
F ( x ) = ∑ 1 ⩽ n ⩽ x μ ( n ) G ( x n ) {\displaystyle F(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}\mu (n)G\left({\frac {x}{n}}\right)}
我们有 f ( n ) = ∑ d ∣ n [ n d = 1 ] f ( d ) {\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\left[{\frac {n}{d}}=1\right]f(d)} ，其中 [ n = 1 ] {\displaystyle [n=1]} 在 n = 1 {\displaystyle n=1} 时为 1，其余点为 0。
而根据莫比乌斯函数的性质， [ n = 1 ] = ∑ d ∣ n μ ( d ) {\displaystyle [n=1]=\sum _{d\mid n}\mu (d)} ，代入得到 f ( n ) = ∑ d ∣ n ∑ m ∣ n d μ ( m ) f ( d ) {\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}\mu (m)f(d)} 。
由于 ∑ d ∣ n ∑ m ∣ n d {\displaystyle \sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}} 的限制条件其实就是 m d ∣ n {\displaystyle md\mid n} ，故等式可以写成： f ( n ) = ∑ m ∣ n μ ( m ) ∑ d ∣ n m f ( d ) = ∑ m ∣ n μ ( m ) F ( n m ) {\displaystyle f(n)=\sum _{m\mid n}\mu (m)\sum _{d\mid {\frac {n}{m}}}f(d)=\sum _{m\mid n}\mu (m)F({\frac {n}{m}})} 。
及
为定义在
上的复值函数并且
![{\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\left[{\frac {n}{d}}=1\right]f(d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcfb0d6ed4656a5d0c3e903b045577498e67575)
![{\displaystyle [n=1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36b92e670594942b68409974998a61a6d14eeee)
![{\displaystyle [n=1]=\sum _{d\mid n}\mu (d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d697e8798a5635558117f5b2e4d49b78f4f5f4b3)
