齐夫定律

齐夫定律（英语：Zipf's law，IPA：/ˈzɪf/）是由哈佛大学的语言学家乔治·金斯利·齐夫于1949年发表的实验定律。它可以表述为：在自然语言的语料库里，一个单词出现的频率与它在频率表里的排名成反比。所以，频率最高的单词出现的频率大约是出现频率第二位的单词的2倍，而出现频率第二位的单词则是出现频率第四位的单词的2倍。这个定律被作为任何与幂定律概率分布有关的事物的参考。

齐夫定律

概率质量函数 横纵坐标均为对数比例下，齐夫定律的概率质量函数的图像，其中N = 10。横坐标是指数k 。（注意，函数仅在k为整数时有定义，图上的连线不代表函数连续。）
累积分布函数 横纵坐标均为对数比例下，齐夫定律的累计分布函数的图像，其中N = 10。横坐标是指数k 。（注意，函数仅在k为整数时有定义，图上的连线不代表函数连续。）
参数	$s>0\,$（实数） $N\in \{1,2,3\ldots \}$（正整数）
值域	$k\in \{1,2,\ldots ,N\}$
概率质量函数	${\frac {1/k^{s}}{H_{N,s}}}$
累积分布函数	${\frac {H_{k,s}}{H_{N,s}}}$
期望值	${\frac {H_{N,s-1}}{H_{N,s}}}$
众数	$1\,$
熵	${\frac {s}{H_{N,s}}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {\ln(k)}{k^{s}}}+\ln(H_{N,s})$
矩生成函数	${\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{nt}}{n^{s}}}$
特征函数	${\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{int}}{n^{s}}}$

例子

最简单的齐夫定律的例子是“1/f function”。给出一组齐夫分布的频率，按照从最常见到非常见排列，第二常见的频率是最常见频率的出现次数的½，第三常见的频率是最常见的频率的1/3，第n常见的频率是最常见频率出现次数的1/n。然而，这并不精确，因为所有的项必须出现一个整数次数，一个单词不可能出现2.5次。

在布朗语料库中，“the”、“of”、“and”是出现频率最前的三个单词，其出现的频数分别为69971次、36411次、28852次，大约占整个语料库100万个单词中的7%、3.6%、2.9%，其比例约为6：3：2。大约占整个语料库的7%（100万单词中出现69971次）。满足齐夫定律中的描述。仅仅前135个字汇就占了Brown语料库的一半。

齐夫定律是一个实验定律，而非理论定律，可以在很多非语言学排名中被观察到，例如不同国家中城市的数量、公司的规模、收入排名等。但它的起因是一个争论的焦点。齐夫定律很容易用点阵图观察，坐标分别为排名和频率的对数（log）。比如，“the”用上述表述可以描述为x = log(1), y = log（69971）的点。如果所有的点接近一条直线，那么它就遵循齐夫定律。

遵循该定律的现象

• 英文单词或中文汉字的出现频率：不仅适用于语料全体，也适用于单独的一篇文章
• 网页访问频率
• 城镇人口与城镇等级的关系
• 收入前3%的人的收入
• 地震震级
• 固体破碎时的碎片大小

参见

• 经验公式
• 词频效应

延伸阅读

主要:

• George K. Zipf（1949）Human Behavior and the Principle of Least Effort. Addison-Wesley.
• George K. Zipf (1935) The Psychobiology of Language. Houghton-Mifflin.（see citations at http://citeseer.ist.psu.edu/context/64879/0）

次要:

• Lada Adamic. Zipf, Power-laws, and Pareto - a ranking tutorial. http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ranking.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Alexander Gelbukh and Grigori Sidorov (2001) "Zipf and Heaps Laws’ Coefficients Depend on Language" （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Proc. CICLing-2001, Conference on Intelligent Text Processing and Computational Linguistics, February 18–24, 2001, Mexico City. Lecture Notes in Computer Science N 2004, ISSN 0302-9743, ISBN 3-540-41687-0, Springer-Verlag: 332–335.
• Damián H. Zanette (2006) "Zipf's law and the creation of musical context," Musicae Scientiae 10: 3-18.
• Kali R. (2003) "The city as a giant component: a random graph approach to Zipf's law," Applied Economics Letters 10: 717-720（4）
• Gabaix, Xavier. Zipf's Law for Cities: An Explanation (PDF). Quarterly Journal of Economics. August 1999, 114 (3): 739–67 [2014-02-05]. ISSN 0033-5533. doi:10.1162/003355399556133. （原始内容存档 (PDF)于2021-02-24）. 
• Axtell, Robert L; Zipf distribution of US firm sizes （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Science, 293, 5536, 1818, 2001, American Association for the Advancement of Science

外部链接

• Steven, Strogatz. Guest Column: Math and the City. The New York Times. 2009-05-29 [2009-05-29]. （原始内容存档于2015-09-27）. —An article on Zipf's law applied to city populations
• Seeing Around Corners (Artificial societies turn up Zipf's law) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• PlanetMath article on Zipf's law（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Distributions de type "fractal parabolique" dans la Nature (French, with English summary)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• An analysis of income distribution （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Zipf List of French words
• Zipf list for English, French, Spanish, Italian, Swedish, Icelandic, Latin, Portuguese and Finnish from Gutenberg Project and online calculator to rank words in texts
• Citations and the Zipf–Mandelbrot's law （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Zipf's Law for U.S. Cities （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Fiona Maclachlan, Wolfram Demonstrations Project.
• 埃里克·韦斯坦因. Zipf's Law. MathWorld. 
• Zipf's Law examples and modelling (1985)
• Complex systems: Unzipping Zipf's law (2011) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Benford’s law, Zipf’s law, and the Pareto distribution （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Terence Tao.