以項數最少的兩對 x n , y n {\displaystyle x_{n},y_{n}} 為例, 請問不等式 ( x 1 2 + x 2 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 ) ≥ ( x 1 y 1 + x 2 y 2 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}} 等號成立的時機究竟是「 x 1 y 2 = x 2 y 1 {\displaystyle x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}} 」還是「 x 1 y 1 = x 2 y 2 {\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}} 」呢? (這兩者的差別在於允不允許某幾項是0)
不過高中數學老師應該很有意見,因為對於他們而言, ( x 1 2 + x 2 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 ) ≥ ( x 1 y 1 + x 2 y 2 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}} ,「 y 1 = y 2 = 0 {\displaystyle y_{1}=y_{2}=0} 時等號成立」、「 x 2 = y 2 = 0 {\displaystyle x_{2}=y_{2}=0} 時等號成立」都是廢話,柯西不等式99.9%以上都是用來算最大最小值的,前述兩個等號成立時機對於求最大最小值幾乎毫無幫助。 另外,三對 x n , y n {\displaystyle x_{n},y_{n}} 時的等號成立條件會變得很囉唆,不利學生記憶: ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 ) ≥ ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})^{2}} 等號成立於 x 1 y 2 = x 2 y 1 {\displaystyle x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}} 且 x 2 y 3 = x 3 y 2 {\displaystyle x_{2}y_{3}=x_{3}y_{2}} 且 x 1 y 3 = x 3 y 1 {\displaystyle x_{1}y_{3}=x_{3}y_{1}} 時 (四對以上更囉嗦,但是因為很罕用,就算了) 我不得不承認,「x,y成比例時等號成立」這句話簡單扼要、好記多了。