用户:Jiangbaolu/沙盒

大家都知道，在爱因斯坦的狭义相对论里，运动的时钟会变慢。但这究竟是为什么呢？其实这并不需要高深的学问，只要你了解相对运动和平均速度的概念，就能明白其中的道理。下面的例子是专为高中生设计的，可能对其他人也有所帮助。

一个平均速度问题

在一条平缓流动的河里，一个人正在游泳。由于他以前从没在河里游过泳，为了安全起见，他选择了顺着岸边游。他想从下游的Ａ点开始，游到上游的Ｂ点，然后再返回到Ａ点。如果他在泳池中的游速是 $c$，而河水的流速是 $v$，那么他一个来回的平均速度是多少？

答案

这个平均速度很容易求，其过程如下：

假设s是A和B之间的距离，那么

从A到B的时间: $t_{AB}={\frac {s}{c-v}}$
从B到A的时间: $t_{BA}={\frac {s}{c+v}}$
总时间: $t_{sum}=t_{AB}+t_{BA}={\frac {s}{c-v}}+{\frac {s}{c+v}}=2s({\frac {c}{c^{2}-v^{2}}})$
平均速度: $v_{avg}={\frac {2s}{t_{sum}}}={\frac {c^{2}-v^{2}}{c}}=c(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})=c(1-v^{2}/c^{2})$
我们可以看出，他的往返平均速度小于他在泳池中的游速。

修正方案

不巧的是，这个游泳的人正是你的老板。他对自己的游泳水平非常有信心，如果你说他的平均速度不到 $c$ 的话，他绝对不会相信。所以你只好告诉他钟表或者尺子出了问题，并请他等修好以后再试。

该怎么修呢？

从数学上来讲，可以有无数的解决办法。但在现实中只有三种方案可选：用一个慢的钟表，或者是用一个短的尺子，再不就是把两者都变一点儿。

方案一：调慢钟表

$t_{fix}=1/(1-v^{2}/c^{2})$

方案二：裁短尺子

$l_{fix}=(1-v^{2}/c^{2})$

方案三：调慢钟表并裁短尺子

$t_{fix}=1/{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}$

$l_{fix}={\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}$

修正方案的缺陷

我们的修正公式是怎么得到的？

首先，我们认为游泳者的运动是相对的，所以利用了相对运动的速度合成公式 $c-v$和 $c+v$，得出了小于 $c$ 的平均速度。然后，我们又把游泳者的运动当成是绝对的，所以又只好把这个速度修正成 $c$。

问题是，当 $v\geq {c}$的时候，以上修正方案都不管用。这很容易解释。因为在这种情况下，一个人根本无法游去上游。既然往返平均速度没法得到，自然也就没办法把它变成 $c$。

相对论的思路

方案三是否看着有点儿眼熟？它们很像相对论里的时钟变慢和长度缩短公式，对吧？

这可不是巧合。实际上，该例子正代表了爱因斯坦在其论文中的思路。

在爱因斯坦的相对论论文(英文版)中, 两个做相对运动的参照系代替了河岸和流水，光束的往返运动代替了游泳者的往返运动。而且，正像我们在前面的例子里所做的那样，爱因斯坦首先假定光的运动是相对运动，这可以从相对论推导的第一步中的 $c-v$ 和 $c+v$ 看出：

${\frac {1}{2}}(\tau (0,0,0,t)+\tau (0,0,0,t+{\frac {x'}{c-v}}+{\frac {x'}{c+v}}))=\tau (x',0,0,t+{\frac {x'}{c-v}})$

接着他又假定光的运动是绝对运动，这点可以从论文的第一部分第三节的中部得到验证：

With the help of this result we easily determine the quantities ξ,η,ζ by expressing in equations that light (as required by the principle of the constancy of the velocity of light, in combination with the principle of relativity) is also propagated with velocity c when measured in the moving system.

不定解问题

为什么我们得出的公式跟相对论的公式不完全一样呢？

实际上，我们面对的是一个不定解问题：$y/x=c$。这个方程具有无穷多个解。要想得到一个确定的解，你必须加上额外的限制条件。因为爱因斯坦加的限制条件跟我们不同，所以得出了不同的解。但这种差别并不影响问题的实质。

总结

狭义相对论是相对运动和绝对运动之间的一座桥梁。

这一点最明显地体现在狭义相对论的速度合成公式中：

$V={\frac {v+w}{1+vw/c^{2}}}$

当 $v$ 和 $w$ 都小于光速 $c$ 时，合成速度同时受两者的影响。当其中任何一个等于光速 $c$ 时，合成速度永远是 $c$，和另外一个速度毫无关系！

额外阅读

如有兴趣，可继续阅读爱因斯坦的《论动体的电动力学》。该文的部分中文翻译可以从special-relativity.org下载。关于相对论的基础概念，可参考爱因斯坦的《相对论：狭义和广义理论》(英文版，来自Gutenberg Project)。该书是针对大众的，浅显易懂。