用户:NtuEEsaber/沙盒

雷登转换将函数 $f(x,y)$ 映射到$f(\alpha ,s)$。

本图是将下图做雷登转换后得到的影像，越亮的区域代表值越大，黑色的区域为0。

原始函数是白色区域为1，黑色区域为0。

数学上，雷登变换是一种积分变换，这个转换将函数$f$ 转换成一个定义在二维空间上的函数$Rf$，而在某线上的值等于对该条线做线积分的值，

雷登变换是Johann Radon在西元1917年提出，他也同时提出雷登转换的反转换公式，以及三次空间的雷登变换公式。 三次空间雷登变换，是对一个平面积分(对线积分则是X-ray transform)。而在不久之后，更高维度的欧几里得空间的雷登转换被提出，更详尽的广义雷登转换要查Integral geometry。 在复数上有和雷登转换相似的Penrose transform，雷登转换被广泛的应用在断层扫描，从断层扫描的剖面图重建出投影的资料。

简介

若函数$f$表示一个未知的密度，对$f$做雷登转换，相当于得到$f$投影后的讯号，举例来说：$f$相当于人体组织；断层扫描的输出讯号相当于经过雷登转换的$f$。 因此，可以用雷登反转换从投影后的密度函数，重建原始的密度函数，它也是重建断层扫描的数学理论基础，另一个被广为人知名词的是三维重建。

雷登转换后的讯号称作"正弦图"，因为一个偏离中心的点的雷登转换是一个正弦曲线。所以对一些小点的雷登转换，会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数重叠在一起。

雷登转换可以应用在：X射线电脑断层扫描、条码扫描器、macromolecular assemblies的电子显微镜例如：病毒、Reflection seismology、蛋白质复合体，而且也是双曲线 偏微分方程的解。

定义

令密度函数$f({\bf {x}})=f(x,y)$是一个的定义域为 ${\bf {R}}^{2}$ 的紧致台(compact support)。令$R$为雷登转换的运算子(operator)，则$Rf(x,y)$是一个定义在 一条在${\bf {R}}^{2}$ 的直线 L，它的定义如下

${\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|$

对于一个弧长 $z$ 的线，可以把直线 $L$ 变成一个参数式

$(x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,$

$s$是直线$L$和原点的距离，而$\alpha$是垂直于$L$的法线和$x$轴的夹角， 接下来，我们可以把$(\alpha ,s)$当作${\bf {R}}^{2}$平面上的新座标系统，把这个座标转换带入到雷登变换得到

${\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}$

更进一步，我们可以把${\bf {R}}^{2}$推广到$\mathbb {R} ^{n}$，对一个紧致台(compact support)的连续函数$f$，转换后的函数$Rf$是定义在 $\sum _{n}$的超平面上，

${\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \sum _{n}$

对所有

${\bf {x}}\cdot \alpha =s.$

而$\alpha$是一个单位向量且属于${\rm {S}}^{n-1}$，$s\in \mathbb {R}$，n维的雷登变换可以改写成定义在 ${\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}$上的函数

${\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )$

也能把仿射子空间，而这种推广雷登变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描，他的做法是对一条直线积分。

与傅立叶变换的关系

主条目：Projection-slice theorem

雷登变换和傅立叶变换之间有很强的关联性。单变数的傅立叶变换的定义是

${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx$

而双变数$({\bf {x}})=(x,y)$的傅立叶变换是

${\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy$

把雷登转换的运算子的表记从${\cal {R}}[f](s)$ 改成 ${\cal {R}}[f](\alpha ,s)$。根据Projection-slice theorem学说，

${\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))$

$\mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$

因此一个初始函数沿著一条线倾角$\alpha$的二维的傅立叶变换，相当于对雷登转换做一维的傅立叶变换。这个结果可以推广到n维

${\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds$

对偶转换

对偶雷登转换是雷登转换的埃尔米特伴随。令在空间$\sum _{n}$上的函数$g$，而对偶雷登转换的运算子定义为${\cal {R}}^{*}$。作用在$g$上

${\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )$

积分的范围是所有和$x\in {\bf {R}}^{2}$相交的超平面集合，而测度(measure)$d\mu$是集合$\xi |x\in \xi$特殊的机率测度(Probability measure)， 当对著$x$旋转时，$d\mu$的值不会改变

对于一个二维的雷登转换，其对偶转换是

${\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha$

在影像处理的文章中，对偶转换经常被称作反向传播算法(back propagation) ， 因为

交结性质

拉普拉斯算子$\Delta$在 ${\bf {R}}^{n}$

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}$

这是一个旋转不变性的二阶微分算子，在空间$\sum _{n}$，半径的二阶倒数(second derivative)

$Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)$

也是旋转不变性。 而雷登转换与其对偶转换属于交结运算子(intertwining operator)，是因为

${\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)$

重建方法

重建处理是指从投影影像重建一个影像，或是一个函数$f$。重建处理是一种逆问题(inverse problem)。

雷登反转换公式

对于二维雷登转换，最常被使用的解析公式(analytical formula)$f$，是Filtered Backprojection Formula或雷登反转换公式，反转换公式为

$f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta$

函数$h$满足${\hat {h}}(k)=|k|$，卷积核 (convolution kernel) $h$在一些文章中称作Ramp filter。

不适定问题 (ill-posedness)

直觉上，反转换公式应该和微分类似，${\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)$。我们可以看的出来反转换公式 的行为类似微分。大致上来说，这个反转换公式把目标奇异化(singular)；要如何量化雷登反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢？首先可以写出

${\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )$

${\cal {R}}^{*}$即是前面定义的反转换运算子，且伴随著(adjoint to)雷登转换，因此$g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$，上式变成

${\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$

复数指数函数$e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$，是${\cal {R}}^{*}{\cal {R}}$的固有函数 (eigenfunction) ， 而特征值 (eigenvalue)为${\frac {1}{||{\bf {k}}||}}$。${\cal {R}}$的奇异值 (singular values) 是${\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}$， 因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0，所以${\cal {R}}^{-1}$是无界的(unbounded) 。

参见

• Deconvolution
• X-ray transform
• Funk transform
• 霍夫变换

参考

• Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons, 1983 .
• Helgason, Sigurdur, Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs 39 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854 .
• Helgason, Sigurdur, Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3 .
• Herman, Gabor T., Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections 2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2 .
• Minlos, R.A., Radon transform, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics 32, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1 
• Natterer, Frank; Wübbeling, Frank, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9 .
• Radon, Johann, Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] (Leipzig: Teubner), 1917, (69): 262–277 ; Translation: Radon, J.; Parks, P.C. (translator), On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, IEEE Transactions on Medical Imaging, 1986, 5 (4): 170–176, PMID 18244009, doi:10.1109/TMI.1986.4307775 .
• Roerdink, J.B.T.M., Tomography, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• 埃里克·韦斯坦因. NtuEEsaber/沙盒. MathWorld. .