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三角面多面體

在幾何學中，三角面多面體（英語：deltahedron，複數形為deltahedra）是指每個面都是三角形的多面體[1]:73。其英文名稱（deltahedron）是取自大寫的希臘字母δ：Δ，這個字母的形狀為三角形，來表示這類多面體面皆為三角形的特性。若多面體不但每個面都是三角形，而且每個三角形皆為正三角形，則稱之為正三角面多面體。正三角面多面體有無限多種[2][3]，根據握手引理（英語：Handshaking lemma），正三角面多面體皆具有偶數個面[4][5]。在無限多種正三角面多面體中僅有8種是凸多面體[6][7]，它們分別具有4、6、8、10、12、14、16和20個面。[8]

三角面多面體
部分的三角面多面體
四連正四面體
四連正四面體 		正二十面體
正二十面體
扭稜鍥形體
扭稜鍥形體 		大二十面體
大二十面體
面數最多的嚴格凸正三角面多面體是正二十面體

命名

三角面多面體一名稱來自於這類多面體的特性——所有面都是三角形組成的。而其英文名稱「deltahedron」則取外形近似三角形的希臘字母Δ之英語名稱「delta」[9]作為字首，並加上多面體字尾「-hedron」的組合詞來表示這種多面體所有面都是三角形[10]。在英文的語境中，「deltahedron」一詞所表達的三角面多面體還須滿足每個面都是正三角形的條件，[10][2]而中文語境的「三角面多面體」一詞所代表的多面體的面則未必需要是正三角形[11]。

八個凸正三角面多面體

凸正三角面多面體共有8種，其中3種是正多面體（柏拉圖立體），和5種非正多面體。[12]

正三角面多面體
圖像 名稱 面 邊 頂點 頂點佈局（英語：Vertex_configuration） 對稱群
  正四面體 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
  正八面體 8 12 6 6 × 34 Oh, [4,3]
  正二十面體 20 30 12 12 × 35 Ih, [5,3]
詹森多面體
圖像 名稱 面 邊 頂點 頂點佈局（英語：Vertex_configuration） 對稱群
  雙三角錐 6 9 5 2 × 33
3 × 34		 D3h, [3,2]
  雙五角錐 10 15 7 5 × 34
2 × 35		 D5h, [5,2]
  扭稜鍥形體 12 18 8 4 × 34
4 × 35		 D2d, [2,2]
  三側錐三角柱 14 21 9 3 × 34
6 × 35		 D3h, [3,2]
  雙四角錐反角柱 16 24 10 2 × 34
8 × 35		 D4d, [4,2]

凸正三角面多面體頂點的分支度僅能夠是3、4或5。[13]在6個面的三角面多面體中，存在分支度為3和分支度為4的頂點。在10個面、12個面、14個面和16個面的三角面多面體中，有的頂點分支度為4，有的分支度為5。共有5個非正多面體的三角面多面體，其屬於詹森多面體，即由正多邊形組成的凸多面體。

18個面的凸正三角面多面體不存在[14]，然而，邊收縮二十面體是一個18面體，且每個面都是三角形，但要保持嚴格凸的狀態，這18個三角形不能為正三角形。[15]若用正三角形構成邊收縮二十面體，則其會包括兩組共面的三角形，每組共面的部分有三個三角形，而導致整個立體不是嚴格凸的多面體。[15][16]

種類

柱體的側面為正方形，因此柱體一般無法滿足三角面多面體的定義，然而底面是三角形的柱體在側面疊上三角錐則能確保所有面都是三角形，這種立體為三側錐三角柱，是一種詹森多面體。錐體本身的側面是三角形，但底面可能不是三角形，因此要滿足三角面多面體的定義只有三角錐——連同底面也是三角形的錐體才是三角面多面體（等同於正四面體）。雙錐體為將兩個錐體底面對底面疊合形成的多面體，因此僅會留下錐體的側面。[17][18]錐體的側面皆為三角形，因此雙錐體皆為三角面多面體。而正三角面多面體則是同時要求面要是正三角形的多面體，有這性質的雙錐體僅有雙三角錐、雙四角錐（等價於正八面體）[19]和雙五角錐。雙六角錐若需要每個面都是正三角形則會導致面共面而無法形成嚴格凸的多面體。除了雙錐體外，另一種錐體的變化為雙錐反柱體，即把兩個錐體疊到反柱體的兩個底面上，這樣立體除了錐體的側面外，剩下的反柱體側面也都是三角形的，就能滿足三角面多面體的定義。而正三角面多面體則是同時要求面要是正三角形的多面體，有這性質的雙錐反柱體僅有雙四角錐反角柱、雙五角錐反角柱（等同於正二十面體）[20]，而雙二角錐反角柱是退化且非凸，雙六角錐反角柱則是加入的錐體側面無法在不退化成共面的情況下維持其正三角形的面。

正三角面雙錐體
     
雙三角錐 雙四角錐
（正八面體） 		雙五角錐
正三角面雙錐反柱體
   
雙四角錐反角柱 雙五角錐反角柱
（正二十面體）

剩餘的最後一個多面體——扭稜鍥形體是正三角面多面體中唯一一個不能由簡單的多面體構成或抽換元素而成的立體[21]。但其可以視為是鍥形體經過扭稜變換後的像[22]。

非嚴格凸的情況

若允許無限延伸的三角形鑲嵌的局部作為三角面多面體的一部分，則有無數種可能的共面三角形的情況。[15]若將共面的三角形集合視為單一面，則可以計算較小的面、邊和頂點的集合。共面的三角形可能合併成的形狀包括菱形、梯形、六邊形或其他等邊多邊形面。考慮每個面都是凸多邊形時，則有 、  、  、  、  、  、  、  、 ……等情況。[21]

面數較少的例子包括：

共面三角面多面體
圖像 名稱 面 邊 頂點 頂點佈局（英語：Vertex_configuration） 對稱群
  側錐八面體（英語：Augmented octahedron）（退化）
三角錐反角柱（退化） 		10   15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36 		C3v, [3]
4  
3  		 12
  三方偏方面體
雙三角錐反角柱（退化）
對二側錐八面體（退化） 		12   18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36 		C3v, [3]
6   12
  二側錐八面體（退化） 12   18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36 		C2v, [2]
2  
2  
2  		 11 7
  三角錐台
均三側錐八面體（退化） 		14   21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36 		C3v, [3]
1  
3  
1  		 9 6
  長八面體（英語：Elongated octahedron） 16   24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36 		D2h, [2,2]
4  
4  		 12 6
  正四面體
均四側錐八面體（退化） 		16   24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36 		Td, [3,3]
4   6 4
  3個正四面體與2個正八面體 18   27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36 		D2h, [2,2]
2  
1  
2  
2  		 14 9
  邊收縮二十面體（退化） 18   27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36 		C2v, [2]
12  
2  		 22 10
  雙三角錐台 20   30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36 		D3h, [3,2]
2  
6  		 15 9
  三角帳塔 22   33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36 		C3v, [3]
3  
3  
1  
1  		 15 9
  雙三角錐 24   36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36 		D3h, [3]
6   9 5
  六角反稜柱
雙六角錐反角柱（退化） 		24   36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36 		D6d, [12,2+]
12  
2  		 24 12
  截角四面體 28   42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36 		Td, [3,3]
4  
4  		 18 12
  四角化截半立方體（退化）
正八面體 		32   48 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36 		Oh, [4,3]
8   12 6

非凸的形式

非凸的正三角面多面體有無限多種。

例如具有自相交面的正三角面多面體：

其他非凸的例子例如在正多面體的面上疊上正錐體：[23][2]

         
非凸三角化四面體 非凸四角化立方體 非凸三角化八面體
（星形八面體） 		非凸五角化十二面體 非凸三角化二十面體
12個正三角形 24個正三角形 60個正三角形

此外，多連正四面體（日語：正四面体リング）也是正三角面多面體：

多連正四面體（日語：正四面体リング）
     
船形體[24]
8個正三角形 10個正三角形 12個正三角形

康迪三角面多面體

為了能列舉非凸的三角面多面體，亨利·馬丁·康迪（英語：Martyn_Cundy）於1952年在數學公報上發表了題為「Deltahedra」的論文[25]，並提出了一個關於三角面多面體的問題以便枚舉非凸的三角面多面體，其規定需要存在2個頂點形式，且三角形要完全在立體外部，並排除了面與面自相交的多面體[26]，例如五種凸的屬於詹森多面體的三角面多面體就符合這個條件，因此有時又會把這類三角面多面體稱為雙形三角面多面體（Biform Deltahedra）[27]。

康迪在其文獻中共列出了17種非凸的三角面多面體[2]，其中有3種被標記為無效，例如出現重合邊或頂點形式多於2種。[27]在這17種多面體中，有一種為五十九種星形二十面體之一，即凹五角錐十二面體。[27]

喬治·奧爾舍夫斯基（George Olshevsky）對這類多面體進行了廣泛的搜索又發現了11種滿足這些條件的非凸三角面多面體。[28]

部分的康迪三角面多面體
 
四維單純形的展開圖 		 
凹五角錐十二面體
12個面、18條邊、8個頂點 60個面、90條邊、32個頂點

三角面正多面體

不論凸與非凸，則本身是正三角面多面體的正多面體共有四種：[23]

正三角面多面體
圖像 名稱 面 邊 頂點 頂點佈局（英語：Vertex_configuration） 對稱群
  正四面體 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
  正八面體 8 12 6 6 × 34 Oh, [4,3]
  正二十面體 20 30 12 12 × 35 Ih, [5,3]
  大二十面體 20 30 12 12 × (35)/2 Ih, H3, [5,3]

參見

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參考文獻

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  5. ^ George W. Hart. Show that any deltahedron has an even number of faces. 1996 [2022-07-28]. （原始內容存檔於2019-09-09）. 
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  7. ^ Peter Messer. Möbius Deltahedra. 1998 [2022-07-28]. （原始內容存檔於2022-07-28）. 
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  10. ^ 10.0 10.1 Richard Klitzing. Deltahedra et al.. bendwavy.org. [2022-07-28]. （原始內容存檔於2022-07-28）. 
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  25. ^ H. Martyn Cundy（英語：Martyn_Cundy）, Deltahedra, Mathematical Gazette（英語：The Mathematical Gazette）, December 1952, 36: 263–266, JSTOR 3608204, doi:10.2307/3608204 
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  27. ^ 27.0 27.1 27.2 Roger Kaufman. The Cundy Deltahedra or Biform Deltahedra. www.interocitors.com. 2013 [2022-07-28]. （原始內容存檔於2022-07-28）. 
  28. ^ George Olshevsky, Breaking Cundy's Deltahedra Record (PDF), unpublished manuscript, 2006 [2022-08-11], （原始內容存檔 (PDF)於2022-07-28） 

延伸閱讀

外部連結

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