不可約元素

不可約元素是抽象代數中的名詞，是指在整環中一個非零、非單位的元素，而且也無法表示為二個非單位元素的乘積。

不可約元素和質元素的關係

不可約元素和質元素不同，交換環 $R$ 內的非零、非單位元素 $a$ 為質元素，表示若在交換環 $R$ 內存在 $b$ 及 $c$ ，使得 $a|bc$ ，則 $a|b$ 或 $a|c$ 必定有一個成立。

在整環中，每一個質元素都是不可約元素^[1]^[2]，但一般而言，不可約元素不會是質元素。只有在唯一分解整環（或範圍更廣的GCD環）中的不可約元素才一定是質元素。

再者，一個用質元素產生的理想為素理想，但由不可約元素產生的理想一般不會是不可約理想（英語：irreducible ideal）。不過，若 $D$ 為GCD環，且 $x$ 為 $D$ 環中的不可約元素，則產生的理想會是素理想^[3]。

在二次整數環（英語：quadratic integer ring） $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中，可以用範數證明 3 是不可約元素。不過，3 不是質元素，因為

3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,

但 $3$ 無法整除 $2+{\sqrt {-5}}$ ，也無法整除 $2-{\sqrt {-5}}$ 。^[4]

^ 考慮 $p$ 為一個可約的質元素： $p=ab.$ ，則 $p|ab\Rightarrow p|a$ 或 $p|b$ 。假如 $p|a\Rightarrow a=pc,$ 則可得 $p=ab=pcb\Rightarrow p(1-cb)=0.$ 。因為 $R$ 為整環，因此可得 $cb=1.$ 。因此 $b$ 為單位元素，而 $p$ 是不可約元素。
^ Sharpe (1987) p.54
^ planetmath Irreducible Ideal. [2015-08-25]. （原始內容存檔於2010-06-20）.
^ William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9.