佩多不等式

幾何學佩多不等式,是關連兩個三角形不等式,以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出:如果第一個三角形的邊長為面積,第二個三角形的邊長為面積,那麼:

等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形,對應邊成比例;
也就是

證明

  • 海倫公式,兩個三角形的面積可用邊長表示為
 
 

再由柯西不等式

 
 
 

於是,

 
 

命題得證。

等號成立當且僅當 ,也就是說兩個三角形相似。


 
ABC是第一個三角形,A'B'C'是取相似後的第二個三角形,BC與B'C'重合
  • 幾何證法

三角形的面積與邊長的平方成正比,因此在要證的式子兩邊同乘一個係數 ,使得 ,幾何意義是將第二個三角形取相似(如右圖)。 設這時A、B、C變成x、y、z,F變成F'。 考慮 AA' 的長度。由余弦公式,

 
 

 , 

代入就變成:

 

兩邊化簡後同時乘以 ,並注意到a=x,就可得到原不等式。 等號成立當且僅當A與A'重合,即兩個三角形相似。

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