依賴選擇公理
在數學上,依賴選擇公理(,英語:Axiom of dependent choice)是選擇公理()較弱的版本,但依賴選擇公理依舊足以發展實分析絕大多數的內容。依賴選擇公理最早由保羅·伯奈斯於1942年一篇討論哪些集合論公理對發展數學分析是必要的文章中引入。[a]
正式描述
若一個 上的齊次關係 被稱作全關係,則對於所有的 而言,皆存在有一個 ,使得 成立。
依賴選擇公理的表述如下: 對於任意非空集合 及任意 上的全關係 而言,皆存在有一個 上的序列 ,使得以下陳述成立:
- 對於任意的 而言,
若限制上述的 為所有實數的集合,那相關公理可表記為
應用
即使在沒有這條公理的狀況下,對於任意的 ,依舊可用一般的數學歸納法造出如此序列的最前面 項;而依賴選擇公理說的是我們可用此種方式造出整個(可數無限的)序列。
這條公理是 的片斷,而在「必須於每一步都做出選擇」且「一些選擇無法在不仰賴先前選擇的情形下獨立做出」的狀況下證明「存在有可以可數長度的超限遞歸建構的序」列時,這條公理是必須的。
等價陳述
在策梅洛-弗蘭克爾集合論 的框架下, 等同於完備度量空間上的貝爾綱定理。[1]
在 的框架下,這公理也等價於勒文海姆–斯科倫定理。[b][2]
在 的框架下也與「所有有 層且剪枝過的樹都有分支」這陳述等價。
不僅如此, 也與弱化版的佐恩引裡等價;特別地, 與「任何使得所有良序鏈都有限且有界的偏序,都必然有極大元素」這敘述等價。[3]
所有有ω層且剪枝過的樹都有分支的證明 |
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設 是 上的完整二元關係(entire binary relation),那麼此處的策略是定義一棵 上有限序列的樹 ,而這棵樹的鄰近元素滿足 這關係。在這種狀況下, 的其中一個分支是鄰近元素滿足 這關係的無限序列。我們先從定義「若對於 而言, ,則 」開始,由於 是完整二元關係之故,因此 是一棵具有 層且剪枝過的樹,因此 有 這分支,因此對於所有的 而言, ,而這蘊含了 ,因此 為真。
設 是一棵位於 上具有 層的剪枝過的樹,那麼此處的策略是定義 上的二元關係 ,而這關係使得 導出 這樣的序列,而在這序列中, 且 是一個嚴格遞增函數;而在這種狀況下,無窮序列 是一個分支。(要證明這點,只需要對 進行證明)我們先定義「若 是 的始序列(initial subsequence),且 且 ,則 」開始,由於 是一棵具有 層的剪枝過的樹枝故,所以 是個完整關係;因此 蘊含說存在有無限序列 使得 ,因此對於一些 而言, 。設 的最終元素,那麼 。對於所有的 而言 這序列屬於 。由於這是 的的始序列,或者是一個 之故,因此 是一個分支。 |
與其他公理的關係
和完整版的 不同的是, 在 的框架下,不足以證明說有些實數集是不可測集,也不足以證明有些實數集合不具有貝爾性質或完美集性質;而由於梭羅維模型滿足 ,且在此模型中所有的實數集合都是勒貝格可測集、都具有貝爾性質和完美集性質之故,因此這說法成立。
註解
- ^ "The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. (原始內容存檔 (PDF)於2022-07-23). The axiom of dependent choice is stated on p. 86.
- ^ Moore states that "Principle of Dependent Choices Löwenheim–Skolem theorem" — that is, implies the Löwenheim–Skolem theorem. See table Moore, Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. Springer. 1982: 325. ISBN 0-387-90670-3.
參考資料
- ^ 「貝爾綱定理蘊含依賴選擇公理」─Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 1977, 25 (10): 933–934.
- ^ The converse is proved in Boolos, George S.; Jeffrey, Richard C. Computability and Logic 3rd. Cambridge University Press. 1989: 155–156. ISBN 0-521-38026-X.
- ^ Wolk, Elliot S., On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma 26 (3), Canadian Mathematical Bulletin: 365–367, 1983 [2022-07-23], doi:10.4153/CMB-1983-062-5 , (原始內容存檔於2022-07-23)
- ^ 伯奈斯證明說依賴選擇公理蘊含可數選擇公理,相關資料可見於Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. (原始內容存檔 (PDF)於2022-07-23).的第86頁
- ^ 對於可數選擇公理不蘊含依賴選擇公理這點,可見Jech, Thomas, The Axiom of Choice, North Holland: 130–131, 1973, ISBN 978-0-486-46624-8
- Jech, Thomas. Set Theory Third Millennium. Springer-Verlag. 2003. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965. Zbl 1007.03002.