傅里葉級數

在數學中，傅里葉級數（英語：Fourier series，/ˈfʊrieɪ, -iər/）是把類似波的函數表示成簡單諧波的方式。更正式地說，對於滿足狄利克雷定理的周期函數，其傅里葉級數是由一組正弦與餘弦函數的加權和表示的方法。傅里葉級數與用來找出無周期函數的頻率信息的傅里葉變換有密切的關係。

方波的傅里葉級數前四項的部份總和。隨着增加更多的諧波，這個部份總和收斂成方波。

傅里葉級數是傅里葉分析的一個研究分支，也是採樣定理原始證明的核心。傅里葉級數在數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用。

歷史

傅里葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅里葉（1768年–1830年），他提出任何函數都可以展開為三角級數。此前數學家歐拉、達朗貝爾和克萊羅，已發現在認定一個函數有三角級數展開後，通過積分方法計算其係數的公式，而拉格朗日等人已經找到了一些非周期函數的三角級數展開。將周期函數分解為簡單振盪函數的總和的最早想法，可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。

傅里葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助，傅里葉介入三角級數用來解熱傳導方程，其最初論文雖經西爾維斯特·拉克魯瓦、加斯帕爾·蒙日同意，但在1807年經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審後被拒絕出版，他的現在被稱為傅里葉逆轉定理的理論後來發表於1822年出版的《熱的解析理論》。

定義

上圖展示了藍色無周期函數$s(x)$，它只定義在紅色區間$[0,P]$之上。可以認為傅里葉級數，是對下圖中最初函數的「周期延拓」的分析，傅里葉級數總是周期函數，即使最初函數$s(x)$不是周期函數。

傅里葉級數可以用不同的形式來表達，下面將周期為$P$的一個周期函數${\textstyle s(x),\ x\in \mathbb {R} }$表達為不同形式的傅里葉級數。

正弦-餘弦形式

人們常用$\sin(x)$與$\cos(x)$的三角級數來表示${\textstyle s(x)}$，就是將所有$n$階諧波${\textstyle \sin({\frac {2\pi nx}{P}})}$與${\textstyle \cos({\frac {2\pi nx}{P}})}$，乘以其各自在${\textstyle s(x)}$中的權重，求得它們的總和；這些$n$階諧波的權重稱爲傅立葉級數係數，它們可以藉由如下積分來獲得：

傅立葉級數係數

${\begin{aligned}A_{0}&={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx\\A_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\qquad \\B_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$

Eq.1

符號${\textstyle \int _{P}}$表示在選定區間上的積分，典型的選擇為$[-P/2,P/2]$或者$[0,P]$。注意$A_{0}$是函數$s(x)$的平均值，這個性質擴展到了類似的變換比如傅里葉變換。

通過這些係數定義傅里葉級數為：

傅立葉級數，正弦-餘弦形式

$s(x)\sim A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)+B_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\right)$

Eq.2

這裡使用符號$\sim$，表示傅里葉級數的求和不一定總是等於$s(x)$。普遍來說$n$是理論上趨近於無限大的，但是就算趨近於無限大，對所有的$x$（例如在某一點上不連續），傅立葉級數也不一定收斂到${\textstyle s(x)}$ 。儘管不收斂的可能性始終存在，在科學和工程領域中經常將Eq. 2中的$\sim$直接替代為$=$。

在傅里葉級數係數中的整數索引$n$，是級數中相應的$\cos$或$\sin$，在這個函數的周期$P$中，形成的圓周（cycle）的數目。因此對應於$A_{n}$和$B_{n}$的項有着：

• 波長等於${\tfrac {P}{n}}$，並且有着同於$x$的單位。
• 頻率等於${\tfrac {n}{P}}$，並且有着$x$的倒數單位。

指數形式

下面藉由歐拉公式$\ e^{ix}=\cos x+i\sin x\$，將傅里葉級數係數簡化成複數指數形式。

根據定義，我們可以得到:

複數傅里葉級數係數

${\begin{aligned}c_{0}&=A_{0}&\\c_{n}&=(A_{n}-iB_{n})/2\qquad &{\text{for }}n>0\\c_{n}&=(A_{-n}+iB_{-n})/2\qquad &{\text{for }}n<0\end{aligned}}$

Eq. 3

通過將等式Eq. 1代入Eq. 3，可以證實：

複數傅里葉級數係數

$c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)e^{-{\frac {2\pi inx}{P}}}\,dx\qquad {\text{for}}\ n\in \mathbb {Z}$

給定複數傅里葉級數係數，可以用公式復原出$A_{n}$和$B_{n}$：

複數傅里葉級數係數

${\begin{aligned}A_{0}&=c_{0}&\\A_{n}&=c_{n}+c_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(c_{n}-c_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}$

通過這些定義，傅里葉級數可以寫為：

傅立葉級數，指數形式

$s(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{\frac {2\pi inx}{P}}$

Eq. 4

這是可推廣到複數值域函數的慣用形式。$n$的負數值對應於負頻率。

複數值函數

人們習慣將${\textstyle s(x)}$的值域普遍化到複數上，設${\textstyle s(x)}$是一個複數值函數，它的實部和虛部，都是實數值函數：

$s(x)=\operatorname {Re} (s(x))+i\cdot \operatorname {Im} (s(x)),\quad x\in \mathbb {R}$

定義$c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}$則：

$c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx$

$c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx$

$c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx$

對於這個複數值函數，它的傅里葉級數的實部，是它的實部的傅里葉級數；它的傅里葉級數的虛部，是它的虛部的傅里葉級數：

$s(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}=\sum _{n=\infty }^{\infty }c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}+i\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}$

振幅-相位形式

還可以利用三角恆等式$\ \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \,$，把正弦-餘弦形式中後面的正弦函數跟餘弦函數合併起來：

$A_{n}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)$

然後定義振幅${\textstyle A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$，相位${\textstyle \varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})}$，這裡的$a_{n}$和$b_{n}$對應正弦-餘弦形式中$A_{n}$和$B_{n}$。${\tfrac {A_{0}}{2}}$是$s(x)$的平均值${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx}$。

傅立葉級數，振幅-相位形式

$s(x)\sim {\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)$

Eq. 5

部份求和算子

在描述傅里葉級數行為的時候，經常會為一個函數$f(x)$介入部份求和算子$S_{N}$：

$S_{N}(f)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{\frac {2\pi inx}{P}}$

Eq. 6

這裡的$c_{n}$是$f$的傅里葉係數。不同於微積分中的級數，傅里葉級數的部份求和必須採用對稱形式，否則收斂結果可能不成立。

假設$f(x)$與$g(x)$是在${\textstyle \mathbb {R} }$上的可積函數，$f(x)$與$g(x)$在$[-\pi ,\pi ]$的捲積$(f*g)(x)$為:

$(f*g)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )g(x-\tau )d\tau$

周期為$2\pi$的函數$f(x)$的傅立葉級數的部份求和，可以經由$f(x)$與狄利克雷核${\textstyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}}$的摺積來表示：

${\begin{aligned}S_{N}(f)(x)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\\&=\sum _{n=-N}^{N}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )e^{-in\tau }d\tau \right)\cdot e^{inx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )\left(\sum _{n=-N}^{N}e^{in(x-\tau )}\right)d\tau \\&={\frac {1}{2\pi }}(f*D_{N})(x)\end{aligned}}$

收斂性概要

$s_{N}(x)$在$[x_{0},\ x_{0}+P]$近似了$s(x)$，該近似程度會隨着$N\rightarrow \infty$逐漸改善。這個無窮和$s_{\infty }(x)$叫做 $s$的傅里葉級數表示。傅里葉級數的收斂性取決於函數有限數量的極大值和極小值，這就是通常稱為傅里葉級數的狄利克雷條件。參見傅里葉級數的收斂性之一。對於廣義函數或分布也可以用範數或弱收斂定義傅里葉係數。在$s(x)$的不可導點上，如果我們只取無窮級數中的有限項求和，那麼在這些點上會有幅度不隨$N$增大而持續變小的起伏，這叫做吉布斯現象，一個簡單的例子是方波信號。

在工程應用中，一般假定傅里葉級數除了在不連續點以外處處收斂，原因是工程上遇到的函數比數學家提供的這個假定的反例表現更加良好。特別地，傅里葉級數絕對收斂且一致收斂於$s(x)$，只要在$s(x)$的導數（或許不會處處存在）是平方可積的。如果一個函數在區間$[x_{0},x_{0}+P]$上是平方可積的，那麼此傅里葉級數在幾乎處處的點都收斂於該函數。

• 
  一個相同幅度和頻率的鋸齒波的近似的可視化
• 
  另一個分別採用傅里葉級數的前 1, 2, 3, 4 項近似方波的可視化。（可以在這裡看到一個交互式的動畫）
• 
  收斂於某個任意函數的例子。注意其中的吉布斯現象

其他常用表示法

符號$c_{n}$在討論多個不同函數的傅里葉係數時是不夠用的。因此習慣上將其替代為函數（這裡是函數$s$）的某種修改形式，即採用函數式符號比如${\hat {s}}[n]$或$S[n]$，來替代下標式符號：

$s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(n)\cdot e^{2\pi inx/P}\quad$常用的數學符號

$s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\quad$常用的工程符號

在工程上，特別是在變量$x$表示時間的時候，係數序列叫做頻域表示。經常使用方括號來強調這個函數的定義域是頻率的離散集合。

另一個常用頻域表示，使用傅里葉級數係數，調製像梳子一樣的狄拉克採樣函數：

$S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)$

這裡的$f$表示連續頻域。在變量$x$以秒為單位的時候，$f$以赫茲為單位。採樣的間隔為基本頻率${\tfrac {1}{P}}$的$n$倍（即為諧波）。 $s_{\infty }(x)$可以通過逆傅里葉變換從這種表示恢復出來:

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x)\end{aligned}}$

構造出的函數$S(f)$，因而通常稱為「傅里葉變換」，即使一個周期函數的傅里葉積分在這個諧波頻率上不收斂。

常用的傅里葉級數

下表列出常用的周期函數及其傅里葉級數係數。

• $s(x)$指示周期$P$的周期函數。
• $A_{0}$、$A_{n}$和$B_{n}$指示周期函數$s(x)$的傅里葉級數係數（正弦-餘弦形式）。

時域 $s(x)$	繪圖	頻域（正弦-餘弦形式） ${\begin{aligned}&A_{0}\\&A_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&B_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$	注釋	引用
$s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}$	全波整流正弦
$s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{for }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}$	半波整流正弦
$s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}$		${\begin{aligned}A_{0}=&AD\\A_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\B_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}$	$0\leq D\leq 1$
$s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$	鋸齒函數
$s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$	反鋸齒函數
$s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{3}}\\A_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}$	反全波整流

基本性質

下表展示在時域中的一些數學運算及其對應的在傅里葉級數係數上的效果。

• 複數共軛指示為上標星號$\ ^{*}\$。
• $s(x)$和$r(x)$指示周期為$P$的函數或只定義在$x\in [0,P]$中的函數。
• $S[n]$和$R[n]$指示$s$和$r$的傅里葉級數係數（指數形式）。

性質	時域	頻域（指數形式）	注釋	引用
線性	$a\cdot s(x)+b\cdot r(x)$	$a\cdot S[n]+b\cdot R[n]$	$a,b\in \mathbb {C}$
時間反轉/頻率反轉	$s(-x)$	$S[-n]$
時間共軛	$s^{*}(x)$	$S^{*}[-n]$
時間反轉且共軛	$s^{*}(-x)$	$S^{*}[n]$
時間實部	$\operatorname {Re} {(s(x))}$	${\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])$
時間虛部	$\operatorname {Im} {(s(x))}$	${\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])$
頻率實部	${\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))$	$\operatorname {Re} {(S[n])}$
頻率虛部	${\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))$	$\operatorname {Im} {(S[n])}$
時間移位/頻率調製	$s(x-x_{0})$	$S[n]\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{P}}nx_{0}}$	$x_{0}\in \mathbb {R}$
頻率移位/時間調製	$s(x)\cdot e^{i{\frac {2\pi }{P}}n_{0}x}$	$S[n-n_{0}]\!$	$n_{0}\in \mathbb {Z}$

對稱性質

所有的函數都可以分解成唯一性的偶部和奇部：$f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x)$，這裡的${\textstyle f_{\text{e}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}}$而${\textstyle f_{\text{o}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}$。實數參數的複數值函數$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$，對於所有$x\in \mathbb {R}$，如果$f(x)={\overline {f(-x)}}$則稱其為「偶對稱」，如果$f(x)=-{\overline {f(-x)}}$則稱其為「奇對稱」，這裡${\overline {z}}$的上頂橫線指示複數共軛。

一個複數值函數的實部和虛部，分解成各自的偶部和奇部，就有了四個分量，分別用下標標明為RE、RO、IE和IO。一個複數值時間參數函數的四個分量，與它的複數頻率變換的四個分量之間，有着一一映射：

${\begin{array}{rccccccccc}{\text{时 域}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&i\ s_{_{\text{IE}}}&+&i\ s_{_{\text{IO}}}\\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{频 域}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\,i\ S_{\text{IO}}\,&+&i\ S_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}$

由此可見，各種關係是顯而易見的，例如：

• 實數值函數s_RE + s_RO的變換，是偶對稱函數S_RE + i S_IO。反過來說，偶對稱變換蘊含了實數值時域。
• 虛數值函數i s_IE + i s_IO的變換，是奇對稱函數S_RO + i S_IE，反過來說也成立。
• 偶對稱函數s_RE + i s_IO的變換，是實數值函數S_RE + S_RO，反過來說也成立。
• 奇對稱函數s_RO + i s_IE的變換，是虛數值函數i S_IE + i S_IO，反過來說也成立。

範例

一個簡單的傅里葉級數

鋸齒波周期函數的圖

前五個部分傅里葉級數的動態圖

我們現在用上面的公式給出一個簡單函數的傅里葉級數展開式。考慮一個鋸齒波：

$s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi$

$s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty {\text{ and }}k\in \mathbb {Z}$

在這種情況下，傅里葉級數為：

${\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1\end{aligned}}$

可以證明，當$s$可微時，傅立葉級數在每個點$x$都收斂於$s(x)$，於是：

${\begin{aligned}s(x)&=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos \left(nx\right)+B_{n}\sin \left(nx\right)\right)\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} \end{aligned}}$

Eq.1

當$x=\pi$時，傅里葉級數收斂於$0$，為在$x=\pi$ 處$s$的左極限和右極限之和的一半。這是傅里葉級數的狄利克雷定理的特例。

這個例子為我們引出了巴塞爾問題的一種解法。

傅里葉誘導

金屬板內的熱分布，使用傅里葉方法求解

在上例中我們的函數的傅里葉級數展開式看起來不比$s(x)={\tfrac {x}{\pi }}$簡單，因此人們需要傅里葉級數的原因也就不會立即顯現出來。但還有很多應用，我們舉用傅里葉誘導解熱方程的例子。考慮邊長為$\pi$米的方形金屬版，坐標為$(x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]$。如果板內沒有熱源，並且四個邊中三個都保持在$0$攝氏度，而第四條邊$y=\pi$，對於$x\in (0,\pi )$，保持在溫度梯度$T(x,\pi )=x$攝氏度。在這種情況下，穩態（或者說很長時間過後的）熱分布函數$T(x,y)$不能得出解析解，但卻可以證明：

$T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}$

這裡的$\sinh$是雙曲正弦函數。熱方程的這個解是通過將$\pi s(x)$的傅里葉級數的每一項乘以${\tfrac {\sinh(ny)}{\sinh(n\pi )}}$得到的。儘管示例的函數$s(x)$的傅里葉級數似乎很複雜，用傅里葉的方法卻可以求解這個熱分布問題。

其他例子

我們也可以應用傅立葉級數去證明等周不等式，或是構造處處連續處處不可微的函數。

收斂性

主條目：傅里葉級數的收斂性

至今還沒有判斷傅里葉級數的收斂性充分必要條件，但是對於實際問題中出現的函數，有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如$x(t)$的可微性或級數的一致收斂性。在閉區間上滿足狄利克雷條件的函數表示成的傅里葉級數都收斂。狄利克雷條件如下：

1. 在定義區間上，$x(t)$須絕對可積；
2. 在任一有限區間中，$x(t)$只能取有限個極值點；
3. 在任何有限區間上，$x(t)$只能有有限個第一類間斷點。

滿足以上條件的$x(t)$傅里葉級數都收斂，且：

1.當$t$是$x(t)$的連續點時，級數收斂於$x(t)$；

2.當$t$是$x(t)$的間斷點時，級數收斂於${\frac {1}{2}}[x(t^{-})+x(t^{+})]$。

1966年，里納特·卡爾松證明了勒貝格二次可積函數的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的，即級數在除了一個勒貝格零測集外均收斂。

傅立葉級數收斂證明

假設一個函數在$f(x)$在$[0,2\pi ]$上是平方可積，則會有:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(x)-S_{N}(f)(x)|^{2}dx\rightarrow 0$ 當$N\rightarrow \infty$

證明的第一步:

考慮一系列正交基底，$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }$，其中$e_{n}(x)=e^{-inx}$，且有

$(e_{n},e_{m})={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=m\\0,&{\text{if }}n\neq m\end{cases}}$

然後有$(f,e_{n})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)e^{-inx}dx={\hat {f}}(n)$

特別的有，$f(x)$的傅立葉級數的部分和$S_{N}(f)(x)=\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}$

然後根據$f=f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}+\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}$ 以及畢氏定理，可以有:

$||f||^{2}=||f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}$ 替換一下後有 $||f||^{2}=||f-S_{N}(f)(x)||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}$

如果右邊第一項收斂到0，再根據正交的性質，可以看出上述式子中的右手邊第二項:

$||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}=\sum _{|n|\leq N}|{\hat {f}}(n)|^{2}$，這就證明了帕塞瓦爾定理。

證明的第二步:

回到證明右邊第一項，因為函數$f(x)$可積，找到一個連續函數$g(x)$，然後根據最佳逼近引理，可以找到一個三角多項式p(x)，使得

$|f-S_{N}(f)(x)|\leq |f(x)-g(x)|+|g(x)-S_{N}(f)(x)|$

故當$N\rightarrow \infty$，函數$f(x)$跟$S_{N}(f)(x)$的差為0。

其他性質

傅立葉級數的唯一性

如果有一個定義在$[-\pi ,\pi ]$的函數$f(x)$和$g(x)$,其中函數$f(x)$和$g(x)$的傅立葉係數${\hat {f}}(n)$還有${\hat {g}}(n)$相同，且傅立葉級數都收斂到函數本身，那麼可以證明此傅立葉級數具有唯一性，也就是$f(x)=g(x)$。換句話說，如果函數$f(x)$在$[-\pi ,\pi ]$上可積，傅立葉係數${\hat {f}}(n)$為0，對所有的$n\in \mathbb {N}$，那麼函數$f(x)=0$

卷積定理

主條目：卷積定理

給定周期為$P$的函數$s_{_{P}}$和$r_{_{P}}$，它們具有傅里葉級數係數$S[n]$和$R[n]$，這裡的$n\in \mathbb {Z}$。

• 逐點乘積$h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)$，也是周期為$P$，並且它的傅里葉級數係數是序列$S$和$R$的離散卷積：$H[n]=(S*R)[n]$。
• 周期卷積${\textstyle h_{_{P}}(x)\triangleq (s_{_{P}}*r)(x)=(s*r_{_{P}})(x)=\int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$，也是周期為$P$，它具有傅里葉級數係數：$H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n]$。
• 在$c_{0}(\mathbb {Z} )$中的雙無限序列$\left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}$，是在$L^{1}([0,2\pi ])$中的傅里葉係數的序列，當且僅當它是在$\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$中的兩個序列的卷積。

微分性質

我們說$f(x)$屬於在$C^{k}(\mathbb {T} )$ $\Rightarrow$ 如果$f(x)$是一個在實數上以$2\pi$為週期的函數，且$k$次可微而且$k$階連續。

• 如果$f(x)$屬於在$C^{1}(\mathbb {T} )$，那麼$f'(x)$傅立葉係數${\hat {f'}}(n)$可以被用$f(x)$傅立葉係數${\hat {f}}(n)$的表示，藉由公式${\hat {f'}}(n)=in{\hat {f}}(n)$

• 如果$f(x)$屬於在$C^{k}(\mathbb {T} )$，${\hat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\hat {f}}(n)$。特別的，當固定$k\geq 1$，我們有${\hat {f^{(k)}}}(n)$趨近於0當$n\rightarrow \infty$，且有${\hat {f^{(k)}}}(n)=O(1/n^{k})$。

黎曼-勒貝格定理

主條目：黎曼-勒貝格定理

如果$S$是可積函數，則${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$，${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$而${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0}$。

帕塞瓦爾定理

主條目：帕塞瓦爾定理

如果函數$f(x)$屬於在$L^{2}([-\pi ,\pi ])$之中，那麼便有${\textstyle \sum _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx=||f||}$。

普朗歇爾定理

主條目：普朗歇爾定理

如果$c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots$是係數，並且${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$，則有一個唯一的函數$s\in L^{2}(P)$使得對於所有$n$有着$S[n]=c_{n}$。

延伸

希爾伯特空間的解讀

主條目：希爾伯特空間

正弦和餘弦形成了正交集合。正弦、餘弦及其乘積的積分，當m與n不同或二函數不同時是0(綠色和紅色區域相等抵消)，僅當m和n相等並且函數相同時為π。

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味着這兩個向量之間沒有任何相關性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。

在希爾伯特空間釋義下，函數的集合{e_n = e^inx; n ∈ Z}是[−π, π]平方可積函數L²([−π, π])的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間，有著針對任何兩個的元素f和g的如下內積:

$\langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.$

三角函數族的正交性用公式表示出來就是：

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,$

$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1$

(這裡的δ_mn是克羅內克函數)，而

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0;\,$

參閱

• 離散時間傅里葉級數
• 傅里葉變換
• 維爾斯特拉斯逼近定理

延伸閱讀

• William E. Boyce; Richard C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 8th. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. 2005. ISBN 0-471-43338-1. 
• Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman. The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. 2003. ISBN 0-486-49531-0.  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
• Enrique A. Gonzalez-Velasco. Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series. American Mathematical Monthly. 1992, 99 (5): 427–441. JSTOR 2325087. doi:10.2307/2325087. 
• Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk. Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Courier. 2003. ISBN 978-0-486-43261-8. 
• Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
• Walter Rudin. Principles of mathematical analysis 3rd. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235-X.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• A. Zygmund. Trigonometric Series third. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-89053-5.  The first edition was published in 1935.
• 電機電子類科《工程數學》，ISBN 978-957-584-377-9，作者 陳錫冠、曾致煌，高立出版社。

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Fourier series, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hobson, Ernest. Fourier's Series. Encyclopædia Britannica 10 (第11版). London: 753–758. 1911. 
• 埃里克·韋斯坦因. Fourier Series. MathWorld. 

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