共軛先驗

在貝葉斯統計中，如果後驗分布與先驗分布屬於同類，則先驗分布與後驗分布被稱為共軛分布，而先驗分布被稱為似然函數的共軛先驗（Conjugate prior）。比如，高斯分布家族在高斯似然函數下與其自身共軛 (自共軛)。這個概念，以及「共軛先驗」這個說法，由霍華德·拉法拉和羅伯特·施萊弗爾在他們關於貝葉斯決策理論的工作中提出。 類似的概念也曾由喬治·阿爾弗雷德·巴納德獨立提出。

具體地說，就是給定貝葉斯公式 $p(\theta |x)={\frac {p(x|\theta )p(\theta )}{\int p(x|\theta ')p(\theta ')d\theta '}},$ 假定概似函數 $p(x|\theta )$ 是已知的，問題就是選取什麼樣的先驗分布$p(\theta )$ 會讓後驗分布與先驗分布具有相同的數學形式。

共軛先驗的好處主要在於代數上的方便性，可以直接給出後驗分布的解析解，否則的話只能數值計算。共軛先驗也有助於獲得關於似然函數如何更新先驗分布的直觀印象。

所有指數家族的分布都有共軛先驗。