凸集

在點集拓撲學與歐幾里得空間中，凸集（Convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的線段點都落在該點集合中。

凸集實例

區間是實數的凸集。
依據定義，中空的圓形稱為圓（circle），它不是凸集；實心的圓形稱為圓盤（disk），它是凸集。
凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集，它們的每隻角都小於180度。
單純形是凸集，對於單純形的頂點集合來說，單純形是它們的最小凸集，所以單純形也是一個凸包。
定寬曲線是凸集。

凸集的延森不等式定義

在度量幾何中，琴生不等式（Jensen's inequality）為凸集給出一個最健全的解釋，而不必牽涉到二階導數：

假設

S

為在實或複向量空間的集。若對於所有

x,y\in S

和所有

t\in [0,1]

，有

(1-t)x+ty\in S

，則稱

S

為凸集。

簡單而言，就是 $S$ 中的任何兩點之間的直線段都屬於 $S$ 。因此，凸集是一個連通空間。

特殊凸集

特殊凸集是特別給了名稱的凸集，它們可能是具有額外性質的凸集，或是在某種定義下的凸集（非一般定義中的凸集）。

具有額外性質的凸集

絕對凸集：若 $S$ 既是凸集又是平衡集，則稱 $S$ 為絕對凸的。

在某種定義下的凸集

星形凸集：若集 $S$ 中存在一點 $x_{0}$ ，使得由 $x_{0}$ 到 $S$ 中任何一點的直線段都屬於 $S$ ，則稱 $S$ 為星形域或星形凸集。星形域是簡單連通的。

性質

若 $S$ 是凸集，對於任意 $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}\in S$ ，及所有非負數 $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ 滿足 $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{r}=1$ ，都有 $\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}\in S$ 。這個向量稱為 $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}$ 的凸組合。