函數空間
在數學中,函數空間是從集合X到集合Y的給定種類的函數的集合。它叫做空間是因為在很多應用中,它是拓撲空間或向量空間或這二者。
例子
函數空間出現在數學的各個領域中:
- 在集合論中,集合X的冪集同一於從X到{0,1}的所有函數的集合;指示為2X。更一般的說,函數X → Y的集合指示為YX。
- 在線性代數中,從在同一個域上的向量空間V到另一個向量空間W的所有線性變換的集合自身是個向量空間。
- 在泛函分析中,對於包括如上向量空間上的拓撲的連續線性變換也是同樣的,很多主要例子是具拓撲結構的函數空間;最周知的例子包括希爾伯特空間和巴拿赫空間。
- 在泛函分析,從自然數到某個集合X的所有函數集合叫做序列空間。它由X的元素的所有可能序列的集合構成。
- 在拓撲學中,可以嘗試在從拓撲空間X到另一個拓撲空間Y的連續函數的空間上放置一個拓撲,帶有依賴於這些空間的本性的效用。常用的例子是緊開拓撲。還有就是在集合論函數(就是說不必需是連續函數)YX的空間上的乘積拓撲。在本語境中,這個拓撲也叫做逐點收斂拓撲。
- 在代數拓撲學中,同倫理論本質上研究函數空間的離散不變式。
- 在隨機過程理論中,基本技術問題是如何在「過程路徑」(時間的函數)的函數空間上構造概率測度。
- 在範疇論中,函數空間叫做指數對象。它以一種方式出現為表示規範雙函子;但是作為類型[X, -]的(單一)函子,它出現為對在對象上的類型(-×X)的函子的伴隨函子。
- 在lambda演算和函數式編程中,函數空間類型被用來表達高階函數的想法。
- 在域理論中,基本想法是通過建立良好行為的笛卡兒閉範疇,從可建模lambda演算的偏序中找到構造。
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