卷積定理

卷積定理指出，函數卷積的傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積。即一個域中的卷積對應於另一個域中的乘積，例如時域中的卷積對應於頻域中的乘積。

${\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$

其中${\mathcal {F}}(f)$表示f 的傅里葉變換。下面這種形式也成立：

${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}$

藉由傅里葉逆變換${\mathcal {F}}^{-1}$，也可以寫成

$f*g={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}{\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}{\big \}}$

注意以上的寫法只對特定形式定義的變換正確，變換可能由其它方式正規化，使得上面的關係式中出現其它的常數因子。

這一定理對拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、Z變換、梅林變換和Hartley變換（參見Mellin inversion theorem）等各種傅里葉變換的變體同樣成立。在調和分析中還可以推廣到在局部緊緻的阿貝爾群上定義的傅里葉變換。

利用卷積定理可以簡化卷積的運算量。對於長度為$n$的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做$2n-1$組對位乘法，其計算複雜度為${\mathcal {O}}(n^{2})$；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上後，只需要一組對位乘法，利用傅里葉變換的快速算法之後，總的計算複雜度為${\mathcal {O}}(n\log n)$。這一結果可以在快速乘法計算中得到應用。

證明

這裡展示的證明是基於傅立葉變換的特定形式。如果傅里葉變換的形式不同，則推導中將會增加一些常數因子。

令$f$, $g$屬於L¹(Rⁿ)。$F$為$f$的傅里葉變換，$G$為$g$的傅里葉變換：

$F(\nu )={\mathcal {F}}\{f\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x$

$G(\nu )={\mathcal {F}}\{g\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x,$

其中x和ν之間的點表示Rⁿ上的內積。

$h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.$

現在發現，

$\int \!\!\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.$

因此，通過富比尼定理我們有$h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$，於是它的傅里葉變換$H$由積分式定義為

${\begin{aligned}H(\nu )={\mathcal {F}}\{h\}&=\int _{\mathbb {R} }h(z)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\\&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz.\end{aligned}}$

觀察到$|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }|=|f(x)g(z-x)|$，因此對以上變量我們可以再次應用富比尼定理（即交換積分順序）：

$H(\nu )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\right)\,dx.$

代入 $y=z-x$; $dy=dz$

$H(\nu )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\left(\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \nu }\,dy\right)\,dx$

$=\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\left(\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy\right)\,dx$

$=\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,dx\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy.$

這兩個積分就是$F(\nu )$和$G(\nu )$的定義，所以：

$H(\nu )=F(\nu )\cdot G(\nu ),$

相關條目

• 卷積

外部連結

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