卷繞數

平面上的閉曲線關於某個點的卷繞數（Winding number），是一個整數，它表示了曲線繞過該點的總次數。卷繞數與曲線的定向有關，如果曲線依順時針方向繞過某個點，則卷繞數是負數。

卷繞數在代數拓撲中是基本的概念，在向量分析、複分析、幾何拓撲、微分幾何和物理學中也扮演了重要的角色。

描述

沿着紅色曲線移動的物體繞着原點逆時針旋轉了兩圈。

假設在xy平面上有一條有向的閉曲線。我們可以把曲線想象為某個物體的運動軌跡，運動方向就是曲線的方向。曲線的卷繞數就是物體逆時針繞過原點的總次數。

計算繞過原點的總次數時，逆時針方向的運動算正數，順時針方向的運動算負數。例如，如果物體首先依逆時針方向繞過原點四次，然後再依順時針方向繞過原點一次，那麼曲線的卷繞數就是3。

利用這種方案，根本不繞過原點的曲線的卷繞數就是零，而順時針繞過原點的曲線的卷繞數就是負數。因此，曲線的卷繞數可以是任何整數。以下的圖中顯示了卷繞數為-2、-1、0、1、2和3的曲線：

x-y平面上的曲線可以用參數方程來定義：

x=x(t)\quad ,\quad y=y(t)\qquad (0\leq t\leq 1).

如果我們把參數t視為時間，那麼這個方程就描述了物體在t = 0和t = 1期間在平面上的運動。只要函數x(t)和y(t)是連續的，運動的軌跡就是一條曲線。只要物體的位置於t = 0和t = 1時相同，這條曲線就是閉曲線。

我們可以用極坐標系來定義這種曲線的卷繞數。假設曲線不經過原點，我們可以把參數方程寫成極坐標的形式：

r=r(t)\quad ,\quad \theta =\theta (t)\qquad (0\leq t\leq 1).

函數r(t)和θ(t)必須是連續的， r > 0。因為最初和最終的位置是相同的，所以θ(0)和θ(1)的差必須是2π的整數倍。這個整數就是卷繞數：

卷繞數

={\frac {\theta (1)-\theta (0)}{2\pi }}

這個公式定義了xy平面上曲線關於原點的卷繞數。把坐標系平移，我們就可以把這個定義推廣到關於任何點p的卷繞數。

卷繞數在不同的數學領域中通常有不同的定義。以下的定義都與上面的定義等價。

在微分幾何中，通常假設參數方程是可微的（或至少分段可微的）。在這種情況下，極坐標系θ與直角坐標系x和y有以下的關係：

d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad

，其中

r^{2}=x^{2}+y^{2}.

根據微積分基本定理，θ的總變化等於dθ的積分。因此，我們可以把可微曲線的卷繞數表示為一個曲線積分：

卷繞數

={\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,{\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx.

在複分析中，閉曲線C的卷繞數可以表示為複數坐標z = x + iy。特別地，如果我們記z = re^iθ，那麼：

dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta \!\,

因此：

{\frac {dz}{z}}\;=\;{\frac {dr}{r}}+i\,d\theta \;=\;d[\ln r]+i\,d\theta .

ln(r)的總變化是零，因此dz ⁄ z的積分等於i乘以θ的總變化。所以：

卷繞數

={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {dz}{z}}.

更加一般地，C關於任何複數a的卷繞數由以下的公式給出：

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {dz}{z-a}}.

這是柯西積分公式的一個特例。卷繞數在複分析中扮演了一個十分重要的角色（例如在留數定理的表述中）。

我們也可以考慮曲線關於它本身的卷繞數（又稱為迴轉數，turning number），也就是曲線的切向量旋轉的次數。在右面的圖中，曲線的迴轉數是4（或−4），那個小的迴路也計算在內。這隻對可微且光滑的曲線才有定義。參見：迴轉切線定理。

Krantz, S. G. "The Index or Winding Number of a Curve about a Point." §4.4.4 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 49-50, 1999.