可分擴張

可分擴張是抽象代數之域擴張理論中的概念。如果一個代數擴張 $L/K$ 滿足：任何一個 $L$ 中元素在基域 $K$ 上的極小多項式都是可分多項式，那麼這個擴張就稱作可分擴張。由於特徵為0的域（包括常見的有理數域 $\mathbb {Q}$ ）以及有限域都是完美域，任何這些域上的代數擴張都是可分擴張，因此可分擴張在域論研究中十分重要。可分擴張還是伽羅瓦擴張的條件之一，因此它在伽羅瓦理論中也扮演了重要的角色。

簡介

域擴張理論和多項式有緊密的關係。給定一個基域 $K$ 並固定其某個代數閉包 $K alg$ ，所有 $K-$ 多項式 $f$ （即以 $K$ 中元素為係數的多項式）都在 $K alg$ 中有根，即存在 $r f$ ，使得 $f (r f) =$ 0。考慮集合 $Z_{f}=\{r\in K^{\mathrm {alg} };\;f(r)=0\}$ 。 $Z f$ 包含了 $f$ 所有的相異的根，它的元素個數不會超過多項式 $f$ 的次數，但也不總等於多項式 $f$ 的次數。例如有理數係數的三次多項式 $X^{3}-X$ 有三個不同的根：1、0和-1，相異根的個數等於多項式次數。但同樣是三次多項式 $X(X-1)^{2}$ 就只有兩個根：0和1。

儘管隨着代數閉包 $K alg$ 變化，多項式 $f$ 的根的形式可以不一樣，但多項式相異根的個數是它的內稟屬性。這個屬性對應着域擴張理論中的可分擴張與不可分擴張。

多項式的重根與可分多項式

給定域擴張 $L/K$ 以及 $K-$ 多項式 $f$ 。如果某個 $L$ 中元素 $α$ 是 $f$ 的根，那麼 $f$ 可以分解為兩個 $L-$ 多項式的乘積：

f=(X-\alpha )g

.

其中 $g$ 是一個次數比 $f$ 少1的多項式。如果 $α$ 也是 $g$ 的根，那麼 $α$ 就被稱作是多項式 $f$ 的重根。有重根的多項式，相異根的個數必然嚴格小於它的次數。這樣的多項式稱為不可分多項式。反之稱為可分多項式。

在 $f$ 的分裂域中，可以更清楚的看到重根。給定 $f$ 的分裂域 $F/K$ 後，由於 $f$ 在 $F$ 中可以完全分解為一次因式的乘積：

f=\kappa (X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\cdots (X-\alpha _{k}),\;\kappa \in K,\;\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{k}\in F

.

因此可以看出是否有兩個根相同。

儘管 $f$ 的根常常在擴域中，但「 $f$ 是否有重根」的判斷可以直接在 $K$ 中進行。考慮 $f$ 的形式導數多項式 $D(f)$ 。如果 $f$ 和 $D(f)$ 互素，則 $f$ 沒有重根。否則， $f$ 和 $D(f)$ 的公因子就是由 $f$ 的重根組成的多項式。互素的具體判別方式為：

如果存在

K-

多項式

p

和

q

，使得

pf + q D(f) =

1，則

f

和

D(f)

互素。

定義

一個代數擴張 $L/K$ 是可分擴張，當且僅當對 $L$ 中任一給定元素 $α$ ， $α$ 在 $K$ 上的極小多項式沒有重根。

可分元素與可分次數

給定一個域擴張 $L/K$ ，如果 $L$ 中某個元素 $α$ 在 $K$ 上的極小多項式沒有重根，就稱它為 $K$ 上的可分元素。顯然所有 $K$ 中元素都是 $K$ 上的可分元素。所有可分元素構成一個域，記作 $L s$ 是域擴張 $L/K$ 的中間域。子擴張 $L s /K$ 的次數 $[L s : K]$ 稱為 $L/K$ 的可分次數，記作 $[L : K] s$ 。如果 $L s = L$ ，則 $L/K$ 是可分擴張。

當 $L/K$ 是有限擴張時，可以定義不可分次數 $[L : K]i := .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}[L : K]/[L : K]s$ 。 $L/K$ 是可分擴張等價於說不可分次數等於1。

性質

如果 $L/F$ 、 $F/K$ 都是代數擴張，那 $L/K$ 是可分擴張當且僅當 $L/F$ 和 $F/K$ 都是可分擴張。
假設 $L/K$ 是可分擴張， $M/K$ 是任意擴張，並且 $LM$ 存在，那麼 $LM/K$ 也是可分擴張。
由以上兩個性質可以推出，對於任何域 $K$ ，在它的代數閉包 $K alg$ 里，所有在 $K$ 上可分的元素可以構成一個域。稱這個域為 $K$ 的可分閉包，記作 $K sep$ 。
如果 $L/K$ 是有限可分擴張，那 $L/K$ 之間只存在有限多個中間域，由本原元定理得出， $L/K$ 存在本原元，即存在 $\alpha \in L$ 使得 $L=K(\alpha )$ 。

參見

參考文獻

Serge Lang. Algebra. Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.