史特芬十四面體

史特芬十四面體
	可局部活動的史特芬十四面體
類別	彈性多面體
對偶多面體	（未知）
性質
面	14
邊	21
頂點	9
歐拉特徵數	F=14, E=21, V=9 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	14個三角形
特性
	彈性
圖像
	; （展開圖）
	; （展開圖）
	閱; 論; 編;

史特芬十四面體是一種彈性多面體，由克勞斯·史特芬（德語：Klaus Steffen）於1978年發現^[1]^[2]^:244-247^[3]。這種多面體基於布里卡爾八面體但沒有自相交的面^[4]。這個多面體一共有14個三角形面，是最簡單的由非相交面組成的彈性多面體。^[5]其遵循強風箱猜想（strong bellows conjecture），這意味著其登不變量（英語：Dehn invariant）在形變過程皆保持不變。^[6]

性質

史特芬十四面體由14個面、21條邊和9個頂點組成。其6個面又可以分成2個子群：來自布里卡爾八面體的6個三角形組，以及將這些三角形組拼起來的另外兩個三角形。^[7]

頂點座標

史特芬十四面體的頂點座標為：^[8]

p_{1}=\left(0,\,0,\,0\right)

p_{2}=\left(-12,\,0,\,0\right)

p_{3}=\left({\frac {1}{24}},\,-{\frac {17{\sqrt {287}}}{24}},\,0\right)

p_{4}=\left(x,\,r\cos \theta ,\,r\sin \theta \right)

其中 $x$ 與 $r$ 可透過下列方程組得出：^[8]

{\begin{cases}\left\|p_{1}-p_{4}\right\|^{2}=25\\\left\|p_{2}-p_{4}\right\|^{2}=100\end{cases}}

$p_{5}$ 、 $p_{6}$ 、 $p_{7}$ 皆是未知數，其可由下列方程組得出：^[8]

{\begin{cases}\left\|p_{5}-p_{4}\right\|^{2}=121\\\left\|p_{5}-p_{2}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{6}-p_{4}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{6}-p_{1}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{7}-p_{2}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{7}-p_{3}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{5}-p_{6}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{6}-p_{7}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{7}-p_{5}\right\|^{2}=25\end{cases}}

$p_{8}$ 、 $p_{9}$ 亦是未知數，分別可由下列兩組方程組得出：^[8]

{\begin{cases}\left\|p_{8}-p_{3}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{8}-p_{6}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{8}-p_{7}\right\|^{2}=25\end{cases}}

{\begin{cases}\left\|p_{9}-p_{1}\right\|^{2}=25\\\left\|p_{9}-p_{3}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{9}-p_{6}\right\|^{2}=144\end{cases}}

構成史特芬十四面體的14個三角形分別為 $\triangle {p_{1}}{p_{2}}{p_{3}}$ 、 $\triangle {p_{7}}{p_{3}}{p_{2}}$ 、 $\triangle {p_{1}}{p_{4}}{p_{2}}$ 、 $\triangle {p_{2}}{p_{4}}{p_{5}}$ 、 $\triangle {p_{2}}{p_{5}}{p_{7}}$ 、 $\triangle {p_{1}}{p_{6}}{p_{4}}$ 、 $\triangle {p_{4}}{p_{6}}{p_{5}}$ 、 $\triangle {p_{5}}{p_{6}}{p_{7}}$ 、 $\triangle {p_{6}}{p_{8}}{p_{7}}$ 、 $\triangle {p_{6}}{p_{9}}{p_{8}}$ 、 $\triangle {p_{1}}{p_{9}}{p_{6}}$ 、 $\triangle {p_{3}}{p_{7}}{p_{8}}$ 、 $\triangle {p_{3}}{p_{8}}{p_{9}}$ 、 $\triangle {p_{1}}{p_{3}}{p_{9}}$ 。^[8]

體積

根據風箱定理^[9]，多面體的體積必為多項式的根，多項式的係數僅取決於多面體的邊長。由於邊長不會隨著多面體的變形過程改變，因此體積必須保持在多項式的有限個根之一，而不會連續變化^[10]，因此史特芬十四面體在不同的變化狀態下體積皆保持不變。以上述頂點座標描述的史特芬十四面體為例，雖然其有不少頂點是可變的值，其在所有變化狀態下的體積皆為定值，其值約為200.777立方單位。^[8]^:6

參見

彈性多面體

參考文獻

^ Lijingjiao; et al. Optimizing the Steffen flexible polyhedron (PDF). 2015 [2021-09-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-02-15）.
^ Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0521664059.
^ Mackenzie, Dana. Polyhedra can bend but not breathe. Science (American Association for the Advancement of Science). 1998, 279 (5357): 1637–1637.
^ Connelly, Robert, Flexing surfaces, Klarner, David A.（英語：David A. Klarner） (編), The Mathematical Gardner, Springer: 79–89, 1981, ISBN 978-1-4684-6688-1, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10 .
^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172
^ Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1-2): 1–13, MR 2823098, arXiv:0901.2989  , doi:10.1007/s00022-011-0061-7 .
^ Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society: 354, 2007 [2021-09-09], ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979, doi:10.1090/mbk/046, （原始內容存檔於2017-03-03） .
^ ^8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 ^8.5 Mark McClure. Steffen's polyhedron (PDF). marksmath.org. [2021-09-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-10-06）.
^ Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642, doi:10.1134/S0371968518030068
^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172

外部連結

Steffen's Polyhedron （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Greg Egan（英語：Greg Egan）

[3] Lijingjiao; et al. Optimizing the Steffen flexible polyhedron (PDF). 2015 [2021-09-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-02-15）.

[4] Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0521664059.

[mackenzie1998polyhedra-5] Mackenzie, Dana. Polyhedra can bend but not breathe. Science (American Association for the Advancement of Science). 1998, 279 (5357): 1637–1637.

[rc-6] Connelly, Robert, Flexing surfaces, Klarner, David A.（英語：David A. Klarner） (編), The Mathematical Gardner, Springer: 79–89, 1981, ISBN 978-1-4684-6688-1, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10 .

[7] Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172

[Alexandrov_2010-8] Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1-2): 1–13, MR 2823098, arXiv:0901.2989  , doi:10.1007/s00022-011-0061-7 .

[ft-9] Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society: 354, 2007 [2021-09-09], ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979, doi:10.1090/mbk/046, （原始內容存檔於2017-03-03） .

[Mark_McClure-10] 8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 ^8.5 Mark McClure. Steffen's polyhedron (PDF). marksmath.org. [2021-09-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-10-06）.

[Gaĭfullin;Ignashchenko_2018-11] Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642, doi:10.1134/S0371968518030068

[Demaine_2007-12] Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172

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